中子截面

中子截面（英語：Neutron cross-section）常用於核物理學與粒子物理學中，表示入射中子與靶核交互作用的一種帶有概率意義的常數。單位以barn表示，等於10⁻²⁴cm²。中子截面與中子通量、核反應速率計算有關，例如：計算一座核電廠的功率。

決定中子截面的參數

中子截面與下列幾個參數有關：

• 靶材核種
• 交互作用方式
• 入射中子能量或強度
• 靶材溫度

核種

核種與中子截面有關，例如：¹H與同位素²H的中子吸收截面並不一樣，後者較小。這就是為何重水作為中子減速劑的效果較輕水佳，前者吸收中子較後者少，因而使用天然鈾即可達到臨界，減少使用濃縮鈾的成本。

交互作用方式

若我們只考慮總反應截面σ_T，則與個別作用方式無關。然而，σ_T可由不同交互作用方式的反應截面加總得到：^[1]

${\displaystyle \sigma _{T}=\sigma _{S}+\sigma _{A}}$

σ_S是總中子散射截面，σ_A是總中子吸收截面。

中子吸收

核子吸收中子後，會成為其核種的同位素。以U-235為例，其吸收中子成為U-236*（星號代表能量較高）。

不穩定的原子核會透過不同的方式將能量釋放出來：

• 釋出一個中子（與散射情況類似）。

${\displaystyle _{Z}^{A}N+n\rightarrow ~_{Z}^{A}N'+n'}$

• 放出γ射線（不會改變質子數）。
• β^-衰變。使中子變換成質子、電子和反電子微中子（會改變質子數）。以此作為主要釋放能量方法的核種：²³²Th。

${\displaystyle n\rightarrow p+e^{-}+{\bar {\nu _{e}}}.}$

• 約81%的U-236*能量較高，會直接產生核分裂，其能量會以分裂產物的動能形式表現出來，並釋放出5個自由中子。以此作為主要釋放能量方法的核種：²³³U、²³⁵U、²³⁷U、²³⁹Pu、²⁴¹Pu。

中子散射

散射可分為相干散射和非相干散射。因為中子極為靠近原子核時會產生核力作用，且不同的同位素有不同的截面變化。一個明顯的例證是¹H和²H，前者的總截面是後者的10倍，這是因為氫的非相干散射長度較大所造成的。鋁和鋯也有類似的情況。

入射中子能量

主條目：中子溫度

U-235核分裂中子截面隨能量變化圖

當確定了反應方式與核種後，中子截面大小明顯地會與入射中子速率有關。在極端情況下，若入射中子速率過低，無法使核子超過閾能，則無法啟動核反應。因此，中子截面的數值取決於特定能量或某個能量區間內。

舉例來說，右方的U-235核分裂中子截面隨能量變化圖中，隨着能量增高，反應截面下降。所以在核反應堆中，我們會使用中子減速劑來降低中子能量，便於促使核分裂連鎖反應發生。

一個簡單估計能量與中子截面關係的模型——拉姆紹爾模型。^[2]是以中子熱德布羅意波長作為核反應的有效體積大小：

${\displaystyle \lambda (E)={\frac {\hbar }{\sqrt {2mE}}}}$

${\displaystyle \lambda }$為中子有效半徑，${\displaystyle \sigma }$為圓形截面面積，${\displaystyle R}$為原子核半徑，它們有以下關係：

${\displaystyle \sigma (E)\propto \pi (R+\lambda (E))^{2}}$

若中子有效半徑遠大於原子核半徑（1–10fm，E = 10–1000keV），則原子核半徑${\displaystyle R}$可忽略。對低能量中子來說（如熱中子），${\displaystyle \sigma (E)}$與中子能量成反比關係，這可用來解釋在核反應器內中子減速劑的使用。另一方面，高能中子（1MeV以上）的${\displaystyle \lambda }$可忽略，中子截面約為常數，只與原子核有關。

然而，這個模型無法解釋中子共振區（1eV–10keV）和一些核反應的閾能大小的影響。

靶材溫度

目前中子截面的數據大多是20°C的測量值，為了計算中子截面隨靶材溫度的變化，可利用下列公式：^[1]:

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\,\left({\frac {T_{0}}{T}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

σ是在溫度T下的中子截面，σ₀則是在溫度T₀下的中子截面，溫度單位為K。

與反應速率的關係

反應速率與截面的關係

讓我們想像一個靜置不動的球形靶（右圖黑色圓形），和一群以速率v向右移動的入射粒子（右圖藍色圓形）。假設一個入射粒子在dt單位時間和σ單位截面內，以速率v移動所形成的體積（右圖黑色圓柱）：

${\displaystyle V=\sigma \,v\,dt}$

若有每單位體積有n個粒子使靶材以r的反應速率進行反應：

${\displaystyle r\,dt=n\,V=n\,\sigma \,v\,dt}$

代入中子通量Φ = n v^[1]：

${\displaystyle r=\sigma \,\Phi }$

若每單位體積有N個靶材粒子以每單位體積R的反應速率進行反應：

${\displaystyle R=N\,r=N\,\Phi \,\sigma }$

一個典型原子核半徑r約為10⁻¹²公分，其截面π r²約為10⁻²⁴平方公分（這也是使用靶恩作為單位的原因），但是不同的截面有較大的數量級變化。例如，慢中子的（n,γ）反應截面約等於1,000 b，但伽瑪射線的反應吸收截面就只有0.001 b。

連續與平均截面

但是一群粒子通常具有不同的入射速率，所對應的反應速率R可由積分式得出：

${\displaystyle R=\int _{E}N\,\Phi (E)\,\sigma (E)\,dE}$

σ(E)是隨能量變化的連續截面，Φ(E)是隨能量變化的粒子通量，N是靶材原子密度。 平均截面定義為：

${\displaystyle \sigma ={\frac {\int _{E}\Phi (E)\,\sigma (E)\,dE}{\int _{E}\Phi (E)\,dE}}={\frac {\int _{E}\Phi (E)\,\sigma (E)\,dE}{\Phi }}}$

Φ= ${\displaystyle \int }$Φ(E) dE是整個能量範圍的粒子通量積分值。

利用Φ和σ可得出：

${\displaystyle R=N\,\Phi \,\sigma }$

巨觀與微觀截面

從上可知，前面的截面都是指微觀截面σ。然而，我們可以定義巨觀截面Σ：^[1]

${\displaystyle \Sigma =N\,\sigma }$

N是原子密度，單位cm⁻³。

因此，微觀截面的單位是cm²，巨觀截面單位是cm⁻¹。所以反應速率R可表示成：

${\displaystyle R=\Sigma \,\Phi }$

平均自由徑

平均自由徑λ是任一入射粒子在兩次與靶核交互作用之間所能移動的平均距離。L是在單位時間dt、單位體積dV內所有未碰撞粒子移動的總距離，可用個別粒子所走距離l與總粒子數N的乘積表示：

${\displaystyle L=l\,N}$

l與N又可以用粒子速率v和單位體積粒子數n表示：

${\displaystyle l=v\,dt}$

${\displaystyle N=n\,dV}$

代入上式可得：

${\displaystyle L=v\,dt\,n\,dV}$

利用中子通量Φ的定義：^[1]

${\displaystyle \Phi =n\,v}$

得到：

${\displaystyle L=\Phi \,dt\,dV}$

在這我們引入平均自由徑λ，用未碰撞粒子移動的總距離L與發生的反應數目R來表示：

${\displaystyle \lambda ={\frac {L}{R}}={\frac {\Phi \,dt\,dV}{R}}}$

且：

${\displaystyle R=\Phi \,\Sigma \,dt\,dV}$

導出：

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\Sigma }}}$

在此，λ是微觀平均自由徑，Σ是巨觀平均自由徑。

常見中子截面數據

下表是常見的中子截面數據：^[3]

		熱中子截面（barn）			快中子截面（barn）
		散射	吸收（捕獲）	核分裂	散射	吸收（捕獲）	核分裂
減速劑	H-1	2E+1	2E-1	-	4E+0	4E-5	-
	H-2	4E+0	3E-4	-	3E+0	7E-6	-
	C（自然）	5E+0	2E-3	-	2E+0	1E-5	-
結構材料與其他物質	Zr-90	5E+0	6E-3	-	5E+0	6E-3	-
	Fe-56	1E+1	2E+0	-	2E+1	3E-3	-
	Cr-52	3E+0	5E-1	-	3E+0	2E-3	-
	Ni-58	2E+1	3E+0	-	3E+0	8E-3	-
	O-16	4E+0	1E-4	-	3E+0	3E-8	-
吸收劑	B-10	2E+0	2E+3	-	2E+0	4E-1	-
	Cd-113	1E+2	3E+4	-	4E+0	5E-2	-
	Xe-135	4E+5	2E+6	-	5E+0	8E-4	-
	In-115	2E+0	1E+2	-	4E+0	2E-1	-
核燃料	U-235	1E+1	6E+1	3E+2	4E+0	9E-2	1E+0
	U-238	9E+0	2E+0	2E-5	5E+0	7E-2	3E-1
	Pu-239	8E+0	4E-2	7E-2	5E+0	5E-2	2E+0

參考資料

1. DOE Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and Reactor Theory, DOE-HDBK-1019/1-93 存档副本 (PDF). [2013-01-26]. （原始內容 (PDF)存檔於2013-02-14）.
2. R. W. Bauer, J. D. Anderson, S. M. Grimes, V. A. Madsen, Application of Simple Ramsauer Model to Neutron Total Cross Sections, http://www.osti.gov/bridge/servlets/purl/641282-MK9s2L/webviewable/641282.pdf
3. Janis 3.3, http://www.oecd-nea.org/janis/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• Neutron scattering lengths and cross-sections （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Periodic Table of Elements: Sorted by Cross Section (Thermal Neutron Capture)