Superparticular數

Superparticular數是以下形式的有理數：

${\displaystyle {n+1 \over n}=1+{1 \over n}}$

其中n為正整數。

Superparticular數是由尼各馬科（英語：Nicomachus）在其著作《算術簡介》〈Introduction to Arithmetic〉中提出，應用在音樂理論及視覺和諧度的研究中。

應用

在和聲的研究中，許多音程可以表示為Superparticular數的比例。此時可以用Størmer定理（英語：Størmer's theorem）找出所有分母及分子均為光滑數的音程^[1]。

比例英文名稱及相關的音程

例子

比例	名稱	音程	聲音
2:1	duplex	八度	Playⓘ
3:2	sesquialterum	純五度	Playⓘ
4:3	sesquitertium	純四度	Playⓘ
5:4	sesquiquartum	大三度	Playⓘ
6:5	sesquiquintum	小三度	Playⓘ
7:6		減三度	Playⓘ
9:8	sesquioctavum	大二度	Playⓘ
10:9	sesquinona	小全音	Playⓘ
16:15		小二度	Playⓘ
25:24		增一度	Playⓘ
81:80		syntonic comma	Playⓘ
126:125		septimal semicomma	Playⓘ
4375:4374		ragisma	Playⓘ

參考資料

1. Halsey, G. D.; Hewitt, Edwin. More on the superparticular ratios in music. American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). 1972, 79 (10): 1096–1100. JSTOR 2317424. doi:10.2307/2317424. MR0313189.

外部連結

• An Arithmetical Rubric：由Siemen Terpstra所著，有關Superparticular數在和聲上的應用
• Superparticular numbers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）：David Canright（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）應用Superparticular數架構五聲調式
• De Institutione Arithmetica, liber II：波伊提烏所著