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罗素与怀特海著作 来自维基百科,自由的百科全书
《數學原理》(英語:Principia Mathematica,縮寫PM)是由伯特蘭·羅素與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德合著的一本數學書籍,書籍共分三卷,分別出版於1910年,1912年,1913年。
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它通常縮寫為PM (Principia Mathematica),為表述所有數學真理在一組數理邏輯內的公理和推理規則下,原則上都是可以證明的。因此這一雄心勃勃的項目對於數學史和哲學史都是非常重要的,[1]然而在1931年,哥德爾不完備性定理證明對於數學原理或其他任何類似的嘗試,這個崇高的目標皆永遠無法達到;也就是說,任何嘗試以一組公理和推理規則來建立的數學系統,不是不自洽,就是不完備 (即存在一些數學真理不能由此系統推理演繹出來)。
數學原理的一個主要的靈感和動機來自於邏輯學家戈特洛布·弗雷格的工作,但伯特蘭·羅素發現其允許建設有矛盾的集合(羅素悖論)。數學原理排除無限制創建任意的集合來試圖避免這個問題,它以不同「類型」的集合來取代一般的集合,一組特定類型的集合只能包含套較低的類型。然而在當代數學,會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理論體系,來避免如羅素的笨拙方式。
原書僅囊括集合論、基數、序數和實數,並沒有包括實分析等複雜定理。然而,前三卷所設基礎已令許多讀者相信,從理論上來說,書中所用的形式邏輯可以用來推導出絕大多數的已知數學定理,但其實際工作的繁瑣程度亦顯而易見。
作者原本籌劃撰寫涵蓋幾何的第四卷,但在完成第三卷後,作者靈感匱乏,未能成書。
由於在理論上由庫爾特·哥德爾(下同)的批評指出,不同於形式主義理論,PM的「logicistic」理論有沒有「形式主義的語法明確說明」。另一種看法是,在理論上,(在模型論的意義上)解釋的真值的符號的行為來表述「⊢」(真理斷言),「〜」(邏輯非)和「V」(邏輯或)。
真值:PM嵌入「真」和「假」的概念,「原始命題」的概念。原料(純)形式主義理論所不能提供形成了「原始命題」誠,符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來,通過「價值」的分配,模式將指定什麼公式說的解釋。因此,在正式的克萊尼符號下方設置,「解釋」什麼樣的符號通常是指,並暗示他們如何最終被採用,在括號內,例如,「¬(不)」。但是,這不是一個純粹的形式主義理論。
下面的形式主義理論是作為對比PM的logicistic理論。一個現代的形式系統將構造如下:
使用的符號:該組是開始集合,其它符號可以出現,而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是Kleene從中導出的以下一組:邏輯符號「→」(意味着,IF-THEN「⊃」),「&」(和)中,「V」(或),「¬」(不) 「∀」(所有),「∃」(存在);謂詞符號「=」(等於);函數符號「+」(算術加法),「∙」(算術乘法),「'」(繼任者);個別符號「0」(零);變量「一」,「B」,「C」等;和括號「(」和「)」。 符號串:該理論將通過串聯(並列)建立這些符號的「弦」.[3] 形成規則:理論指定的語法規則(語法規則),通常為以「0」開頭,並指定如何建立可接受的字符串或「合式公式」(Wff)遞歸定義[4]這包括對於所謂的「變量」(相對於其他符號類型)中的符號串的規則對「替代」。[5] 變換規則(S):指定符號和符號序列的行為的公理。 推理,支隊規則,肯定前件:允許理論從「前提」,導致到了「分離」一個「結論」的規則,並隨後放棄「處所」(符號到行的左邊│或符號線之上,如果水平)。如果不是這種情況,那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字符串。事實上,假言推理的應用程式後,沒有什麼是離開,但結論,剩下的永遠消失。 當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或「脫離規則」: A,A⊃乙│乙 符號「│」通常寫為水平線,這裏「⊃」是指「意味着」。符號A和B是「替身」的字符串;這種形式的符號被稱為「公理模式」(即,有一種特殊形式的符號可以採取可數)。這可以讀取類似的方式IF-THEN但有區別:給定的符號串IF A和A蘊涵B,那麼B(並保留進一步使用僅B)。但符號都沒有「解釋」(例如,沒有「真值表」或「真值」或「真理功能」)和假言推理機制上進行,由單獨的語法。
PM理論既有相似之處顯著,以及類似的差異,當代形式理論。克林指出,「這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信,或者至少被接受為關於世界的假設合理的。」[6]事實上,PM理論不像形式主義理論,即操縱符號根據語法規則,PM引入了「真值」的概念,即在現實世界意義的真理和謬誤,以及「斷言真相」幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素(PM 1962:4-36):
卷I有五個新增:
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