黑格納數

黑格納數（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虛二次域Q(√−d)的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註解 1][1]}。

黑格納數只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納（英語：Kurt Heegner）提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理（英語：Stark–Heegner theorem）。

歐拉的質數多項式

歐拉的質數多項式如下：

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相關於黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，${\displaystyle n}$取值為1,... 40和以下的多項式

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

讓${\displaystyle n}$取值0,... 39時等效，而Rabinowitz^[2]證明了

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

在${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式${\displaystyle 1-4p}$等於負的黑格納數。

（若代入${\displaystyle p-1}$會得到${\displaystyle p^{2}}$一定不是質數，因此最大值只能取到${\displaystyle p-2}$）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格納數為${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈（英語：François Le Lionnais）稱為歐拉的幸運數（英語：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉馬努金常數

拉馬努金常數是${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$的值，是超越數^[4]，但非常接近整數：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots }$

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現^[5]，在1975年愚人節的《科學美國人》^[6]，《數學遊戲》的專欄作家馬丁·加德納故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉馬努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用j-invariant（英語：j-invariant）的複數乘法（英語：complex multiplication）及q展開來表示。

註解

1. Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整數乘積：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。

參考資料

1. Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
2. Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
4. Weisstein, Eric W. (編). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. gives ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$, based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
5. Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
6. Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
• Sloane, N.J.A. (編). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）: Detailed history of problem.
• Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. （原始內容存檔於2013-05-16）.