高斯公式(Gauss's law),又稱為高斯通量理論(Gauss' flux theorem)、散度定理(Divergence Theorem)、高斯散度定理(Gauss's Divergence Theorem)[1]、高斯-奧斯特洛格拉德斯基公式或高-奧公式,是指在向量分析中,一個把向量場通過閉合曲面的流動(即通量)與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理(Stokes' Theorem)是向量中兩大重要定理[2]。
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更加精確地說,高斯公式說明向量場穿過曲面的通量,等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地,所有源點的和減去所有匯點的和,就是流出這區域的淨流量。
高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果,特別是靜電學和流體力學。
在物理和工程中,散度定理通常運用在三維空間中。然而,它可以推廣到任意維數。在一維,它等價於分部積分法。
區域V,以帶有法線n的面S = ∂V為邊界。
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。
設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域,函數
在
上具有一階連續偏導數,則有[3]
![{\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059a350d99d27c7eb03cbbda0bf8f0332f4aea5)
![{\displaystyle \oiint }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle \Sigma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5b381f6640ccb0f35cac475885800035f066d5)
![{\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb6c6f2f8ea346b72e159930a88c252d5383df5)
或
![{\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059a350d99d27c7eb03cbbda0bf8f0332f4aea5)
![{\displaystyle \oiint }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle \Sigma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5b381f6640ccb0f35cac475885800035f066d5)
![{\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df468ccfb5e81a0c6d3997c6c9f2c681c7d3622)
這裏
是
的邊界(boundary),
是
在點
處的單位法向量的方向餘弦。
這兩個公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於
,其中
是曲面
的向外單位法向量。
這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
![{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0920b1f13cd1514d1805b5d8b0ac68861f2f7c)
- 對於兩個向量場
的向量積,應用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12edf12d8012660d2428e70b03a1129c776711c)
- 對於純量函數f和非零常向量的積,應用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7760985b4d54aba1ea16eacf5b8d895d2ae10eec)
- 對於向量場F和非零常向量的向量積,應用高斯公式可得:
![{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5e8d76a1d597cae29b0d7845bdaad788b7342)
例子所對應的向量場。注意,向量可能指向球面的內側或者外側。
假設我們想要計算
![{\displaystyle \oiint }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle S}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e91bf22a258bad807b5a9ae8068ef38202ca30)
![{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2ee7324a804a4fde749c850d5e04dcbaf16391)
其中S是一個單位球面,定義為
![{\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7c7260bffd02568fccb486aa3f630b1eaa70f3)
F是向量場
![{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d44109eb5505781b6373e8716fe72dbcfa5471)
直接計算這個積分是相當困難的,但我們可以用高斯公式來把它簡化:
![{\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf77656db30e5d1d8ba026e0f3ddf7346be99804)
其中W是單位球:
![{\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3b63155965b5dcee2d2afb409bce82813acbd6)
由於函數y和z是奇函數,我們有:
![{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5b52b01513b5cfdd251137345a3626bcf97876)
因此:
![{\displaystyle \oiint }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle \scriptstyle S}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e91bf22a258bad807b5a9ae8068ef38202ca30)
![{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfb3dcb4966f66e14d2a591da66e82c7160e8ef)
因為單位球W的體積是4π/3.
二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整,首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量(詳見並矢張量或張量積)以及相關的概念和記號。在這裏,向量和向量場用黑斜體字母表示,張量用正黑體字母表示。
- 兩個向量
和
並排放在一起所形成的量
被稱為向量
和
的並矢或並矢張量。要注意,一般來說,
。
的充分必要條件是
或
。
- 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
分別線性地依賴於
和
。
- 二階張量
和向量
的縮併
以及
對
和
都是線性的。
- 特別是,當
時,
![{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2c4ab86408ae83089f8108991714be9589733c)
所以,一般說來,
。
下面舉一個例子:用二階張量及其與向量的縮併來重新寫
和
。
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e07d6b661577214b9f12c2eeeba2e1017f4c98e)
我們還用到二階張量
的轉置
(又可以記為
),定義如下:
仍然是一個二階張量,並且線性地依賴於
。
。
定理:設
是三維歐幾里得空間中的一個有限區域,
是它的邊界曲面,
是
的外法線方向上的單位向量,
是定義在
的某個開鄰域上的
連續的二階張量場,
是
的轉置,則
![{\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382b7f1e6bc21fabf20df0b342c172966a9907aa)
證明:下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為
,則
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735dda490ece7d7de84e57fc114dd061bdba59d4)
接下來利用向量場的高斯公式,可得
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976e3338a0e83ad7c939775627d1d195d81360d5)
於是
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178afa139282520e6441728694e8190507d55179)
至此證畢。
同濟大學數學系 編. 高等數學(第六版)(下冊). 北京: 高等教育出版社, 2007
謝樹藝編. 高等學校教材•工程數學:向量分析與場論(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005