下面將給出系統A和B更加正式的證明。為了完成這個證明,我們需要使用第二個定義。
系統A:
- 使用延時的訊號作為輸入
![{\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3a0ea3d8d454aa3dfc55b74a0b1fb6585240c)
![{\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc4c3e80e7adc14ec57106a358984fe3e757ad1)
- 那麼輸出延時
![{\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3a0ea3d8d454aa3dfc55b74a0b1fb6585240c)
![{\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec9ea0a4336188fc20a3b277f5aef5ad1e787db)
- 很顯然
,所以系統是時變系統(time-varying)。
系統B:
- 以延時的訊號作為輸入
![{\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2db043cee0c29d53d24599c8753b24c57fc73c6)
![{\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906af5167bfc85f14f351f8bd768b48f04c86bb7)
- 現在輸出延時
![{\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2db043cee0c29d53d24599c8753b24c57fc73c6)
![{\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90812b5493d1eef0dd694c53814594ad297fa9eb)
- 顯然
,所以系統是非時變(time-invariant)的。儘管有其它方法可以證明這一點,但這是最容易的方法。
我們用
表示移位算子,其中
是向量變址組需要移位的數值,例如「前進1步」的系統
![{\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32a9100ebbcca784e5fdcb75b556393c2f73b90)
可以用這個抽象表示
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2090aa70d03a374bf21433d0ea20165b17dc615b)
其中
是
![{\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7ddf558ca8cd87496167e697b726a30d5e94ed)
以及產生系統移位輸出
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64874c53c05a899a6742903805efe8a298ab3f00)
所定義的函數,這樣
就是輸入向量增加1的算子。
假設我們用算子
表示一個系統,如果系統與移位算子是可交換的,那麼它就是非時變的,例如
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cee7f141f3ee7723eea7f46a5b1c880f865f2d)
如果系統方程是
![{\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73baddc615b3f352155e27ca39e6201f86307176)
並且如果我們可以將系統算子
首先對
進行運算,然後再用移位算子
進行運算,或者首先用移位算子
,然後再用系統算子
進行運算,並且這兩種方法的結果等價,那麼系統就是非時變的。
首先用系統算子進行運算將得到
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65931e30892883ef3e98398b7f17b5fdc9318256)
首先用移位算子將得到
![{\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf129c39b955eda06b84d5c375774ede7e73f5d1)
如果系統是非時變的,那麼
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff85035a0d6fd0e91537806d460ba4b7efcfad02)