阿基米德公理

此條目頁的主題是數學公理或定理。關於物理學定律，請見「阿基米德浮體原理」。

在抽象代數和分析學中，以古希臘數學家阿基米德命名的公理，是一些賦範的群、域和代數結構具有的一個性質，可表述如下：

阿基米德公理的示意圖

對於任何正實數 ${\displaystyle a}$ 及 ${\displaystyle b}$，即使 ${\displaystyle a}$ 多麼小，或是 ${\displaystyle b}$ 多麼大，也必定存在自然數 ${\displaystyle n}$，使得 ${\displaystyle an>b}$。

這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有無窮大或無窮小性質的元素。

這個概念源於古希臘對量的理論。由於它出現在阿基米德的《論球體和圓柱體》的公理五，1883年，奧地利數學家奧托·施托爾茨（英語：Otto Stolz）賦予它這個名字^[1]。

在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。

此性質在現代數學中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序體和局部體的理論，以及大衛·希爾伯特的幾何公理系統。

形式敘述以及證明

解釋

簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

1. 給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
2. 給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價於說，對於任何正實數${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，如果${\displaystyle a<b}$，則存在自然數${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}$

與實數的完備性的關係

實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：

假設對所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle na<b}$（注意${\displaystyle na}$表示${\displaystyle n}$個${\displaystyle a}$相加），令${\displaystyle S=\{na|n=1,2,3,...\}}$，則${\displaystyle b}$爲${\displaystyle S}$的上界（${\displaystyle S}$上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為${\displaystyle \alpha }$），於是${\displaystyle \forall n=1,2,3,...}$有

${\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a}$

得出${\displaystyle \alpha -a}$也是${\displaystyle S}$的一個上界，這與${\displaystyle \alpha }$是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。

參看

1. Weisstein, Eric W. (編). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. （原始內容存檔於2021-04-29） （英語）.