鏈複形

數學上，同調代數領域中的一個鏈複形${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$是一個交換群或者模的序列A₀, A₁, A₂... 通過一系列同態d_n : A_n→A_n-1相連，使得每兩個連接的映射的複合為零：d_n o d_n+1 = 0對於所有n。它們常常寫作如下形式：

${\displaystyle \ldots \longrightarrow A_{n+1}{\begin{matrix}d_{n+1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{2}{\begin{matrix}d_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.}$

定義鏈複形的同調群為 ${\displaystyle H_{n}(A_{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d_{n})/\mathrm {Im} (d_{n+1})}$。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。

鏈複形概念的一個變種是上鏈複形。一個上鏈複形${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$是一個交換群或者模的序列A₀, A₁, A₂...由一系列同態d_n : A_n→A_n+1相連，使得任何兩個接連的映射的複合為零：d_n+1 o d_n = 0 對於所有的n:

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\longrightarrow \ldots .}$

定義上鏈複形的上同調群為 ${\displaystyle H^{n}(A^{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d^{n})/\mathrm {Im} (d^{n-1})}$。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一樣的。

鏈複形的應用通常定義並應用它們的同調群（對於上鏈複形是上同調群）；在更抽象的範圍里，很多等價關係被應用到複形上（例如從鏈同倫的思想開始，以下將解說）。鏈複形很容易在交換範疇中定義。

一個有界複形是其中，幾乎所有的A_i為零—這樣一個有限的複形，用0來伸展到左邊和右邊。一個例子是定義一個（有限）單純複形的同調理論的複形。

例子

奇異同調

假定我們給定一個拓撲空間X。

定義C_n(X)（對於自然數n）為自由交換群由X中的奇異單純形形式化的生成，並定義邊界映射

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),}$

其中帽子表示省略一個頂點。也就是說，一個奇異單純形的邊界是限制到其面的交替和。可以證明∂² = 0，所以${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$是一個鏈複形；奇異同調 ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$是該複形的同調類；也就是說，

${\displaystyle H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}}$.

德拉姆上同調

任何光滑流形上的微分k-形式在加法下組成一個交換群（事實上一個R-向量空間）稱為Ω^k(M)。 外導數 d = d _k 映射 Ω^k(M) → Ω^k+1(M)，而且d ² = 0可以直接從二階導數的對稱性導出，所以k-形式的向量空間和外導數一起成為一個上鏈複形：

${\displaystyle \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .}$

該複形的上同調是德拉姆上同調

${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k+1}/{\mbox{im }}d_{k}}$.

鏈映射

兩個鏈複形 ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$、${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ 之間的鏈映射是一族同態 ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$，使之滿足： ${\displaystyle f_{n}\circ d_{A,n}=d_{B,n}\circ f_{n+1}}$；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$、${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ 之間的上鏈映射是一族同態 ${\displaystyle f^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n}}$，使之滿足： ${\displaystyle f^{n+1}\circ d_{X}^{n}=d_{Y}^{n}\circ f^{n}}$。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

鏈同倫

兩個鏈映射 ${\displaystyle f_{n},g_{n}:A_{\bullet }\rightarrow B_{\bullet }}$ 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 ${\displaystyle D_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n+1}}$ 使得 ${\displaystyle f_{n}-g_{n}=d_{n+1}\circ D_{n}+D_{n-1}\circ d_{n}}$。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 ${\displaystyle D^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n+1}}$。以下給出上鏈同倫的圖解：

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

參看

• 同調
• 微分分級代數