過衝

在訊號處理、控制理論、電子學以及數學中，過衝（英語：overshoot），也稱超調^[1]，是指訊號或者函數超過了預期值，是暫態響應的特性之一。常見於類似低通濾波器的頻帶限制（英語：Bandlimiting）系統中階躍響應階段，通常會跟隨有伴生的振鈴。

過衝示意圖，伴有振鈴和安定時間。

定義

在尾形克彥的《離散時間控制系統》中，最大過衝量被定義為：「從系統期望響應值計算，響應曲線的最大峰值」。^[2]

控制理論

在控制理論中，過衝是指輸出超過了它的最終穩態值。^[3]

對於階躍輸入，過衝率（percentage overshoot, PO）是指過衝最大值減去階躍值再除以階躍值。在單位階躍中，過衝是最大階躍響應值減一。

過衝率是基於阻尼係數 ζ 的函數：

${\displaystyle PO=100\%\cdot e^{\left({\frac {-\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}}$

阻尼係數可表示為：

${\displaystyle \zeta ={\sqrt {\frac {(\ln PO)^{2}}{\pi ^{2}+(\ln PO)^{2}}}}}$

電子學

電子訊號中過衝與下沖。

在電子學中，過衝是指，從一個值轉變到另一個值時，任何參數的瞬時值超過它的最終（穩態）值。過衝在放大器的輸出訊號中有重要的意義。^[4]

慣例: 過衝發生於瞬時值超過最終值。當瞬時值低於最終值時，也稱為「下衝（undershoot）」。

一般電路設計，多半會使上升時間（英語：Rise time）最小化，同時也將失真限制在可接受範圍內。

1. 過衝表現為訊號的失真。
2. 在電路設計中，最小化過衝與減小上升時間的目標會發生衝突。
3. 過衝的大小依賴於經歷阻尼現象的時間。
4. 過衝通常伴有安定時間，即輸出到達穩態的時長。

數學

正弦積分可以用來表示過衝

主條目：吉布斯現象

在函數近似時，過衝也是用來描述近似品質的一個特點。若一函數（例如方波）用許多函數的和（例如傅利葉級數或是正交多項式展開）來表示時，在原函數轉折的部份可能就會有過衝、下沖及振鈴的情形。若多項式的項次越多，近似函數和原函數的偏差也會減緩。不過近似項次越多，振盪週期會變長，但其振幅卻不會改變^[5]，這就是吉布斯現象。在傅利葉轉換中，這可以用在一定頻率以下的函數近似階躍函數來表示，結果會得到正弦積分。可以用和Sinc函數的卷積來表示，在訊號處理中，這是低通濾波器。

訊號處理

（圖下方的）過衝，是因為用非銳化濾鏡（英語：unsharp masking）來銳化影相所造成

正弦積分是理想低通濾波器的階躍響應

Sinc函數是理想低通濾波器的脈衝響應

更多資訊：振鈴效應

訊號處理中的過衝是指一濾波器（英語：Filter (signal processing)）輸出的最大值比輸入的最大值大，特別是針對階躍響應，而且經常會伴隨振鈴效應。

像是用Sinc濾波器（例如用矩形低通濾波器）就會出現過沖的情形，其階躍響應為正弦積分

其過沖及下沖可以用這個方式來說明：一般變換的核函數會經過正規化，使其積分為一，因此將常數函數轉換會得到原常數函數，不會有額外的增益。在某一點的卷積是輸入訊號的線性組合，再以核函數的值為其（加權）系數。若核函數沒有負值（例如高斯函數），則濾波後訊號的數值會是輸入訊號的凸組合（核函數積分為一，而且數值非負），因此會在最大值和最小值之間，此值不會有過沖也不會有下沖。不過若核函數有負值（例如Sinc函數），濾波後訊號的數值會是輸入訊號的仿射組合（英語：affine combination），輸出數值就可能在輸入訊號的最大值及最小值以外，因此會有過沖及下沖的情形。

一般來說過沖是不好的，尤其是會造成削波（英語：Clipping (signal processing)）的情形下，不過有時若要銳化影像，會需要過沖，因為會增加銳度。

相關概念

與過衝非常相關的是振鈴，它緊隨過衝發生，訊號會跌落到低於穩態值，然後可能會反彈到高於穩態，這個過程可能持續一段時間，直到穩定接近於穩態。振鈴持續的時間也叫做安定時間。

在社會生態學中，有類似的過衝的概念，是指人口數超過系統的承受容量。

參見

• 階躍響應
• 振鈴
• 安定時間
• 阻尼
• 積分飽和

參考資料

1. 電工名詞審定委員會. 电工名词. 科學出版社. 1998. ISBN 7-03-006721-5.
2. 尾形克彥. Discrete-time control systems. Prentice-Hall. 1987: 344. ISBN 0132161028.
3. Kuo, Benjamin C & Golnaraghi M F. Automatic control systems Eighth edition. NY: Wiley. 2003: §7.3 p. 236–237. ISBN 0471134767. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
4. Phillip E Allen & Holberg D R. CMOS analog circuit design Second edition. NY: Oxford University Press. 2002. Appendix C2, p. 771. ISBN 0-19-511644-5. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
5. Gerald B Folland. Fourier analysis and its application. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth: Brooks/Cole. 1992: 60–61. ISBN 0-534-17094-3.