超幾何函數

在數學中，高斯超幾何函數或普通超幾何函數2F1(a,b;c;z)是一個用超幾何級數定義的函數，很多特殊函數都是它的特例或極限。所有具有三個正則奇異點（英語：Regular singular point）的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函數表示。

此條目頁的主題是高斯超幾何函數 ₂F₁。關於超幾何函數 _pF_q，請見「廣義超幾何函數」。

超幾何級數

當${\displaystyle c}$為正整數時，對於|z| < 1，超幾何函數可用如下冪級數定義

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}}$

其中 ${\displaystyle \ x^{(n)}}$ 是遞進階乘，定義為:

${\displaystyle q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.}$

當a或b是0或負整數時級數只有有限項，另有避免這種情況出現的正則超幾何函數。

對於滿足|z| ≥ 1 的複數z，超幾何函數可以通過將上述在單位圓內定義的函數沿着避開支點0和1的任意路徑做解析延拓來得到。具體的公式可以表示為

${\displaystyle {\begin{aligned}&_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(a-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(b)_{k}(b-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

特殊情形

很多普通的數學函數可以用超幾何函數或它的極限表示出來，一些典型的例子如下：

${\displaystyle \ln(1+z)=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)}$.

${\displaystyle (1-z)^{-a}=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)}$

${\displaystyle \arcsin z=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)}$

合流超幾何函數（Kummer函數）可以用超幾何函數的極限表示如下

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$

因此，所有合流超幾何函數的特例，例如貝索函數都可以表示成超幾何函數的極限。

勒壤得函數是有3個正則奇異點的二階線性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超幾何函數表示，例如

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$

很多多項式，例如賈可比多項式 P(α,β)
n及其特殊情形勒壤得多項式, 車比雪夫多項式, Gegenbauer多項式都能用超幾何函數表示

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$ 其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式, Meixner多項式, Meixner–Pollaczek多項式。

橢圓模函數（英語：Elliptic modular function）有時能表示成參數a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超幾何函數之比的反函數。例如，若

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}}$

則

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

是τ的橢圓模函數.

不完整的beta函數 B_x(p,q) 表示成

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}$

完整的橢圓積分 K 和 E 如下給出

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

超幾何方程

超幾何函數滿足的微分方程稱為超幾何方程，其形式為（參見廣義超幾何函數)

${\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$.

展開後，得

${\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0.}$

它有三個正則奇異點：0, 1, ∞.

正則奇異點 0 附近的解

超幾何方程的指標方程（英語：Frobenius method）為

${\displaystyle \rho (\rho -1)+c\rho =0}$

它的兩個指標 ρ 是 0 和 1-c。

當 c不是整數時，超幾何方程在 0 附近的兩個線性無關的正則特解為：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

當 c 為 1 時，方程只有一個正則解。當 c 為其餘整數時，另一個線性無關的正則特解涉及對數項。

事實上，當 c 為整數時，另一個線性無關的特解總可以選取為 Meijer G-函數：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}}$

正則奇異點 1 附近的解

只需作代換 t=1-z，方程變為：

${\displaystyle t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.}$

當 a+b-c 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為：

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)}$

正則奇異點 ∞ 附近的解

當 a-b 不是整數時，兩個線性無關的正則特解為：

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

李代數參數與連接關係

在討論超幾何方程的解的連接關係的時候，採用另外一套參數^[1]會更加方便。這組參數是根據方程在三個正則奇異點處的指標之差來定義的。

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

${\displaystyle \alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a}$

${\displaystyle a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha }$

參數 α,β,γ 稱為李代數參數。

運用李代數參數，超幾何方程在三個正則奇異點處的正則解可以分別表示為：

${\displaystyle {\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)}$

${\displaystyle {\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)}$

${\displaystyle {\text{At }}\infty :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})}$

從上面的表達式可見，李代數參數比起通常用的參數 a,b,c 的優勢在於能夠體現不同區域的解之間的對稱性。

引入記號：

${\displaystyle G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)}$

則超幾何方程在不同區域的解的連接關係可以表示為：

${\displaystyle \mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}}$

${\displaystyle (-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}}$

分別對比兩組式子最後一個等號之後的部分，可以看出每組的兩個式子之間的對稱性。

完整的連接關係表稱為 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

積分表示

${\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi }$

式中的 Β 是beta函數。

證明

可以證明等號右邊的表達式是超幾何方程的解。再考慮這個解在 z=0 附近的性質，可以確定它的具體形式。

設

${\displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);}$

則

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}}$

上式中的第二、三個等號可以通過直接展開大括號內的多項式乘積得到。上式兩邊分別對 t 從 1 到無窮大進行積分，等號右邊為 0，於是我們證明了上面的積分表達式的確是超幾何方程的解。

另一方面，利用二項式定理，積分表達式等號右邊的部分可以按 z 展開成冪級數，故可知等號右邊應取 C ₂F₁(a,b,c;z) 的形式（因為另一個線性無關的特解無法展開成冪級數），其中 C 為待定的常數。

對比積分表達式在 z=0 處的值與 Β 函數的定義，即可確定常數 C。

轉換公式

分式線性轉換

Pfaff 轉換

Pfaff 轉換將正則奇異點 1 和 ∞ 交換（也就是將李代數參數中的 β 與 μ 對換）：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

由 a,b 的對稱性自然有：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

證明

Pfaff 轉換可以根據超幾何方程得到。事實上，令

${\displaystyle u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}}$

則

${\displaystyle z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}}$

取

${\displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)}$

由 w(u) 滿足的超幾何方程知等號右邊為 0，再考慮函數 (1-z)^-bw(z) 在 z=0 附近的性質即可得到 Pfaff 轉換的公式。

Euler 轉換

Pfaff 轉換可以導出 Euler 轉換，它將李代數參數 β 變成 -β：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}}$

Pfaff 轉換和 Euler 轉換都是分式線性轉換的例子，這得名於等式兩邊的超幾何函數的宗量的聯繫，參見莫比烏斯轉換。

將上面提到的四個連接關係與 Pfaff 轉換及 Euler 轉換組合起來，就得到完整的 Kummer 表。

給定一組李代數參數(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其輪換對應着 24 個不同但彼此關聯的超幾何函數（F_α,β,μ 恆等於 F_α,β,-μ），利用前面提到的四個連接關係和 Pfaff 轉換，它們中的任意一個可以通過任意另外兩個表出。

例如 Euler 轉換可以表示為：

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }}$

二次轉換

下面是一個二次轉換的例子：

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi }$

二次轉換得名於等號兩邊超幾何函數宗量的聯繫（一個二次函數和一個莫比烏斯轉換的組合）。

證明

仿照上面 Pfaff 轉換的證明，有：

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}}$

令

${\displaystyle c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})}$

則

${\displaystyle 1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}}$

取

${\displaystyle w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)}$

仿照上面關於 Pfaff 轉換的討論，可得二次轉換的公式。

其它例子

運用李代數參數，一般的二次轉換可以表示為

${\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)}$

其中 f(z),g(z) 是 z 的函數， P(z) 表示 z 要滿足的約束。

下表給出了一些二次轉換。

李代數參數（左）	李代數參數（右）	${\displaystyle f(z)}$	${\displaystyle g(z)}$	${\displaystyle P(z)}$
${\displaystyle \alpha ,\mu ,\mu }$	${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{2}},\mu ,{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2}}z)^{-b}}$	${\displaystyle \left({\tfrac {z}{2-z}}\right)^{2}}$	${\displaystyle |\arg(1-z)|<\pi }$
${\displaystyle \mu ,\beta ,\mu }$	${\displaystyle \mu ,{\tfrac {\beta }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1+z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z}{(1+z)^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
${\displaystyle \alpha ,\alpha ,\mu }$	${\displaystyle \alpha ,{\tfrac {\mu }{2}},{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle (1-2z)^{-b}}$	${\displaystyle {\tfrac {4z(z-1)}{(1-2z)^{2}}}}$	${\displaystyle \Re z<{\tfrac {1}{2}}}$

另外還有：

${\displaystyle {\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi }$

將它們與 Kummer 表組合起來，就得到所有的含有兩個獨立參變量的二次轉換關係式。例如上面的例子可以通過組合第一行中的轉換與 Pfaff 轉換得到。

另外還有一些只含有一個獨立參變量的二次轉換關係式。

三次及高次轉換

若一組李代數參數滿足下列條件：有兩個是 ±1/3，或者三個參數的絕對值相等，則有一個三次轉換的公式將它與另一個超幾何函數聯繫起來。

另外有一些 4 次和 6 次轉換的公式。其它次數的轉換公式只有當參數取特定有理數值時存在。參見Goursat (1881)。

特殊值

z=0

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1}$

z=1

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)}$

這稱為高斯原理（Gauss's theorem），可以由超幾何函數的積分表示得到。范德蒙恆等式是它的特殊情形。

z=-1

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$

這可以通過組合上表中的第二個二次轉換和 Pfaff 轉換，並利用 z=1 時的特殊值得到。

z=1/2

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

上面兩式分別被稱為高斯第二求和原理與 Balley 原理。它們都可以通過組合第三個二次轉換和 Pfaff 轉換，並利用 z=1 時的特殊值得到。

參考文獻

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• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
• 埃里克·韋斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld.
• Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
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1. Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .