廣義超幾何函數(generalized hypergeometric function),有時也稱超幾何函數,是一個用冪級數定義的函數,其中冪級數的系數由若干個升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函數」一詞代指廣義超幾何函數,而用「高斯超幾何函數」一詞代指 p=2、 q=1 時的廣義超幾何函數。
超幾何函數是用冪級數定義的:
其中相鄰兩項的系數之比 βn+1/βn 是關於 n 的有理函數,分子和分母都可以表示成若干個一次函數的乘積。一般要求分子和分母的多項式的最高次系數均為 1,並取 β0=1,於是
於是用階乘冪可以將 βn 表示為
一般用下面的記號來表示超幾何函數:
當 ai 都不是非正整數(即負整數和 0)時,要求所有的 bi 都不是非正整數。當有至少一個 ai 是非正整數,且其中最大(絕對值最小)者為 k 時,超幾何函數將截斷為 -k 次多項式,這時允許 bi 中存在非正整數,但要求這些非正整數都小於 k。這都是為了保證在所有的 βn中,分母不為零。
下面討論用來定義超幾何函數的冪級數以零為中心的收斂半徑。
當超幾何函數截斷為多項式時,顯然收斂半徑是無窮大。
除去這種特殊情況之外,用比值審斂法可知,當 p<q+1 時,收斂半徑為無窮大,當 p=q+1 時,收斂半徑為 1,剩下的情況收斂半徑為 0(這時一般把超幾何函數中對應的冪級數視作漸近級數,而函數本身則採用其它方式定義,如積分表達式)。
當級數的收斂半徑為 1 時,級數在單位圓外不收斂,但仍然可以通過解析延拓來定義超幾何函數的值。另外,此時在單位圓上的斂散性較為複雜,不能使用比值審斂法,必須使用高斯審斂法來判斷,結果如下,令
則
- 當 r>0 時,級數在單位圓上絕對收斂;
- 當 0≥r>-1 時,級數在單位圓上除 z=1 外收斂,但不絕對收斂;
- 當 -1≥r 時,級數在單位圓上發散。
複數平面上的路徑積分可以用來定義所有 ak 都不是非正整數時的廣義超幾何函數,包括上面說到的 p≥q+1 的情形。
下面只介紹 p+1>q 且級數不截斷為多項式的情形(其它情形下,上面的冪級數定義已經是良好的定義,而下面的積分不收斂),這時超幾何函數可以定義為:
當 p=q 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數既可以用上面的積分來定義,也可以用超幾何級數定義。可以證明,兩種定義是等價的,且定義出來的超幾何函數都是整函數;
當 p=q+1 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數既可以用上面的積分來定義,也可以用超幾何級數定義,但級數定義只在 |z|<1 時有效,在這個區域內,兩種定義是等價的,上式提供了級數定義的一個解析延拓;
當 p>q+1 且級數不截斷為多項式時,超幾何函數只能通過積分表達式定義,對應的超幾何級數只在 z =0 處收斂,其它情況均發散,它是積分定義的超幾何函數在 z=0 處的漸近級數,即
由上面三個關係式可以得到超幾何函數滿足的微分方程:
- .
就是指數函數。
稱為合流超幾何極限函數(confluent hypergeometric limit functions),與貝索函數有密切關聯。
1F1 就是(第一類)合流超幾何函數,也稱 Kummer 函數。
另一方面,2F0 (此函數的級數表達式不收斂,因此必須通過積分表達式定義)與第二類合流超幾何函數(又稱Tricomi 函數)有如下關係:
事實上,它們都可以表示為高斯超幾何函數的極限,
類似地,pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的極限。
不完全伽瑪函數與這兩個函數有關聯:
當 s 為非負整數時,多重對數函數 Lis 可以用超幾何函數表示:
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .