數學上,矩陣或有界線性算子的譜半徑(spectral radius)是其特徵值絕對值中的最大值(也就是矩陣的譜中元素絕對值中的最小上界),會表示為ρ(·)。
矩陣
令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cn×n中的特徵值,則其譜半徑 ρ(A) is 定義為:
的條件數可以用譜半徑表示,公式為。
譜半徑是矩陣所有範數的一種下確界(infimum)。另一方面,對每一個矩陣範數 都成立,Gelfand公式指出。不過,針對任意向量,譜半徑不一定會滿足。若要說明原因,可以令為任意數,考慮矩陣。的特徵多項式是,因此其特徵值為,且。不過,因此,其中是上的任何範數。至於可以當時,讓的原因是,因此當時,使。
- 針對所有
成立的條件是為埃爾米特矩陣及為歐幾里得範數。
圖
有限圖的譜半徑定義為其鄰接矩陣的譜半徑。
此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C)。此情形下,針對圖G可定義:
令γ是 G的鄰接算子:
G的譜半徑定義為有界線性算子γ的譜半徑。
上界
矩陣譜半徑的上界
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:
命題:令A ∈ Cn×n,其譜半徑為ρ(A),以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數:
證明
令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
因為v ≠ 0,可得
因此
圖譜半徑的上界
有關n個頂點,m個邊的圖,有許多的譜半徑的上界公式。例如,若
其中為整數,則[1] :
乘冪數列
定理
譜半徑和矩陣乘冪數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:
- 定理:令A ∈ Cn×n,其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若
- 另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。
定理證明
假設問題中的極限值為零,可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特徵值和特徵向量對。因為Akv = λkv可得:
因為假設v ≠ 0,會得到
表示|λ| < 1。因為這對任何一個特徵值都會成立,因此可知ρ(A) < 1。
接下來假設A的譜半徑小於1。根據若爾當標準型定理,可以知道針對所有的A ∈ Cn×n,存在V, J ∈ Cn×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得:
而
其中
因此可得
因為J是分塊對角矩陣
而若爾當方塊矩陣k次方可以得到,針對:
因此,若,則針對所有的i,都會成立。因此針對所有的i,可得:
這也表示
因此
另一方面,若,當k增加時,在J中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。
Gelfand公式
定理
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T譜半徑
- 定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩陣範數 ||⋅||,,可得
- [2].
證明
令任意ε > 0,先建構以下二個矩陣:
則:
先將之前的定理應用到A+:
這表示,根據級數極限定理,一定存在N+ ∈ N使得針對所有的k ≥ N+,下式都成立
因此
將之前的定理用在A−,表示無界,一定存在N− ∈ N使得針對所有的k ≥ N−,下式都成立
因此
令N = max{N+, N−},,可得:
因此,依定義,可得下式
舉例
考慮以下矩陣
其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義,ρ(A) = 10。在以下的表中,會以四個最常用的矩陣範式,在k增加時,計算(注意,因為此矩陣特殊的形式,):
有界線性算子
針對有界線性算子 A 及算子範數 ||·||,可以得到
(複數希爾伯特空間上的)有界算子若其譜半徑等於數值半徑,可以稱為「譜算子」(spectraloid operator)。其中一個例子是正規算子。
相關條目
註解
Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 (英語).
參考資料
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
- Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1