萊恩-埃姆登方程式

萊恩－埃姆登方程式（Lane–Emden equation）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次卜瓦松方程式。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅拔·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 ${\displaystyle r}$ 時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 ${\displaystyle \xi }$ 和重構溫度變數 ${\displaystyle \theta }$：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 時的萊恩－埃姆登方程式解。

當

${\displaystyle \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

以及

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,}$

下標 c 代表核心的壓力與密度。${\displaystyle n}$是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$

${\displaystyle P}$ 是代表壓力，${\displaystyle \rho }$ 則是密度，而 ${\displaystyle K}$ 則是比例常數。標準的邊界條件則是 ${\displaystyle \theta (0)=1}$ 和 ${\displaystyle \theta '(0)=0}$。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 ${\displaystyle n}$ 也是多方球的多方指數 ${\displaystyle n}$。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；卜瓦松方程式與位能、密度有關。

應用

在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而卜瓦松方程式則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了萊恩－埃姆登方程式。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

推導

以流體靜力平衡推導

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

這裏 ${\displaystyle \rho }$ 是 ${\displaystyle r}$ 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$

${\displaystyle m}$ 也是 ${\displaystyle r}$ 的公式。再一次求導數可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$

這裏已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 ${\displaystyle r^{2}}$，並將帶有 ${\displaystyle P}$ 的導數的項置於左側，方程式成為：

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$

方程式兩側除以 ${\displaystyle r^{2}}$，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程式 ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ 和 ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ 代入，可得到：

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$

將常數聚集並以 ${\displaystyle r=\alpha \xi }$ 取代：

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G}$,

最後得到萊恩－埃姆登方程式：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

以卜瓦松方程式推導

同樣地，也可以使用卜瓦松方程式進行推導：

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}}\right)=-4\pi G\rho }$

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$

最後也可以得到萊恩－埃姆登方程式。

方程式解

解析解

${\displaystyle n}$ 只在3個值時有解析解

n = 0 {\displaystyle n=0}

如果 ${\displaystyle n=0}$，方程式成為：

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+1=0}$

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$

公式兩側都除以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$，並且再積分一次後得到：

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

邊界條件 ${\displaystyle \theta (0)=1}$ 和 ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ 暗示積分常數是 ${\displaystyle C_{0}=1}$ 和 ${\displaystyle C_{1}=0}$。

n = 1 {\displaystyle n=1}

當 ${\displaystyle n=1}$，方程式可展開如下：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$

兩端都乘以 ${\displaystyle \xi ^{2}}$ 可得到 ${\displaystyle k=1}$ 和 ${\displaystyle n=0}$ 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$

n = 5 {\displaystyle n=5}

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

當 ${\displaystyle n=5}$，方程式的解將是循着徑向的無限大值。

數值解

一般情形下萊恩－埃姆登方程式的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程式表示，例如：

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\phi }{\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}}$

在這裏 ${\displaystyle \phi (\xi )}$ 被視為無因次質量，而質量可使用 ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\phi (\xi )}$ 表示。相關的邊界條件是 ${\displaystyle \phi (0)=0}$ 和 ${\displaystyle \theta (0)=1}$。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

同調變數

同調不變方程式

已知如果 ${\displaystyle \theta (\xi )}$ 是萊恩－埃姆登方程式的解，那麼完整的解方程式將是 ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$^[1]。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將萊恩－埃姆登方程式降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\phi }}}$

和

${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\phi }{\xi \theta }}}$

我們可以將相對於 ${\displaystyle \xi }$ 的變數的對數微分，得到：

${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}$

和

${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}$.

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 ${\displaystyle \xi }$，留下：

${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)}$

以上即為單一一階方程式。

拓撲結構不變的同調方程式

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}$

和

${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)}$

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$）和雅可比矩陣的特徵值、特徵向量如下表所示^[2]：

臨界點	特徵值		特徵向量
${\displaystyle (0,0)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (0,1)}$
${\displaystyle (3,0)}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle (1,0)}$	${\displaystyle (-3n,5+5n)}$
${\displaystyle (0,n+1)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3-n}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle (2-n,1+n)}$
${\displaystyle \left({\frac {n-3}{n-1}},2{\frac {n+1}{n-1}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}}$		${\displaystyle \left(1-n\mp \Delta _{n},4+4n\right)}$

相關條目

• 恆星結構
• 埃姆登－錢德拉塞卡方程式（英語：Emden–Chandrasekhar equation）
• 錢德拉塞卡白矮星方程式（英語：Chandrasekhar's white dwarf equation）

延伸閱讀

• Lane, Jonathan Homer, On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment, The American Journal of Science and Arts, 2nd series, 1870, 50: 57–74.

參考資料

1. Chandrasekhar, Subrahmanyan. An introduction to the study of stellar structure. Chicago, Ill.: University of Chicago Press. 1939.
2. Horedt, Georg P. Topology of the Lane-Emden equation. A&A. 1987, 117 (1-2): 117–130 [2012-06-27]. （原始內容存檔於2017-03-06）. 引文格式1維護：日期與年 (link)

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Lane-Emden Differential Equation. MathWorld.
• Horedt, George Paul ( 1986 ) 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions' PDF ( 5.9MB ), Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.