艾克納方程

艾克納方程是質量守恆的定理，是有關河流中沉積物的質量守恆^[1]。最早是由奧地利氣象學家及沈積物學家費利克斯·馬力亞·埃克斯納開始研究^[2]，艾克納方程因此而得名^[3]。

艾克納方程的重要性在於水深與斜度會影響其剪應力，從而引起地區侵蝕及堆積作用。

方程式

艾克納方程描述河流在河流作用下，沉積物搬運（英語：Sediment transport）過程的質量守恆定理．河底的高度會隨累積的沈積物而漸漸增加（河流淤積（英語：Aggradation）），會因沈積物隨着河流清出而漸漸下降（陵夷作用）。

基礎方程式

此方程提到河床高度${\displaystyle \eta }$隨着時間${\displaystyle t}$的變化，等於沉積物通量散度的負值，除以顆粒填集密度（grain packing density）${\displaystyle \varepsilon _{o}}$的結果

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} }$

其中 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$ 可以表示為 ${\displaystyle (1-\lambda _{p})}$，其中 ${\displaystyle \lambda _{p}}$ 為河床的孔隙率。

自然界 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$ 的範圍約在0.45 至0.75之間^[4]，若是球形顆粒依隨機密堆積（英語：Random close pack）的方式堆積，其數值約為 0.64，密堆積的上限為0.74048（參照最密堆積），但在自然界不太可能以最密堆積的方式堆積，因此多半是用隨機密堆積的方式進行，這也是較合理的上限。

一維的艾克納方程常會因為計算的方便或/及缺乏相關資料而出現。一般以是往下游的方向${\displaystyle x}$為準，因為一般關注的也是隨着河流往下，河流的侵蝕作用及堆積作用

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}{\frac {\partial \mathbf {q_{s}} }{\partial x}}}$

包括高度因外力變化的方程式

此情形下的艾克納方程會在質量守恆式子中包括地層下陷的項${\displaystyle \sigma }$^[5]，這允許在河床高度因外在因素影響時，計算河床的絕對高度${\displaystyle \eta }$對時間的變化，外在因素可能是地質構造或是地殼均衡造成的高度變化，若河床高度隨時間增加，${\displaystyle \sigma }$ 為正值，若河床高度隨時間減少增加，${\displaystyle \sigma }$為負值。

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} +\sigma }$

參考資料

1. C. Paola, V. R. Voller. A generalized Exner equation for sediment mass balance. Journal of Geophysical Research: Earth Surface. 2005-12-01, 110 (F4): n/a–n/a [2018-04-02]. ISSN 2156-2202. doi:10.1029/2004jf000274 （英語）.
2. M Hanif Chaudhry. Open-Channel Flow. Springer Science & Business Media. 16 November 2007: 463–. ISBN 978-0-387-68648-6.
3. Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 1, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh1IntroMorphodynamics.ppt （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
4. Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 4, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh4ConservationBedSed.ppt （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
5. C. Paola and V. R. Voller. A generalized Exner equation for sediment mass balance (PDF). [2015-07-12]. （原始內容 (PDF)存檔於2015-07-13）.