空集

空集合（英語：empty set）是不含任何元素的集合，數學符號為${\displaystyle \emptyset }$、∅或{ }。

符號

空集符號源自北歐拉丁字母，不是希臘字母。

空集的標準符號由尼古拉·布林巴基小組創造，寫作∅（${\displaystyle \varnothing }$），首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一：集合論》（Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats）。這符號也可寫作${\displaystyle \emptyset }$，有時候採用近似字符「Ø」，也可以使用大括號${\displaystyle \{\;\}}$表示。

這符號源自北歐語言的拉丁字母「Ø」，但常被誤會為希臘字母「φ」。（φ有兩個寫法：小寫的${\displaystyle \varphi }$和縮小了的大寫${\displaystyle \phi \,}$，後者常被誤用為空集符號。${\displaystyle \phi \,}$的中間為一長豎，中間的圈也較小，與${\displaystyle \varnothing }$的斜線和大圓不同。）。

提出用北歐字母為符號的，是布爾巴基小組成員安德烈·韋伊。他在自傳寫道：

“

J'étais personnellement responsable de l'adoption du symbole Ø pour l'ensemble vide, ... Le Ø appartenait à l'alphabet norvégien, et j'étais seul dans Bourbaki à le connaître. [1] 採用${\displaystyle \varnothing }$符號表示空集，是我個人的責任，……${\displaystyle \varnothing }$屬於挪威語的字母，在布爾巴基中只有我懂得。

”

空集符號∅的Unicode編碼為U+2205，TeX代碼是\emptyset或\varnothing（後者是AMS符號，很多人較喜歡後者的字形^[2]）。

性質

（這裏採用數學符號）。

• 對任意集合${\displaystyle A}$，空集是${\displaystyle A}$的子集；

  ${\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A}$

• 對任意集合${\displaystyle A}$，空集和${\displaystyle A}$的併集為${\displaystyle A}$：

  ${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$

• 對任意集合${\displaystyle A}$，空集和${\displaystyle A}$的交集為空集：

  ${\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }$

• 對任意集合${\displaystyle A}$，空集和${\displaystyle A}$的笛卡爾積為空集：

  ${\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }$

• 空集的唯一子集是空集本身：

  ${\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }$

• 空集的冪集是僅包含空集的集合：

  ${\displaystyle 2^{\varnothing }=\left\{\varnothing \right\}}$

• 空集的元素個數（即它的勢）為零；特別是，空集是有限的：

  ${\displaystyle \mathrm {card} \left(\varnothing \right)=0}$

集合論中，兩個集合相等，若它們有相同的元素；那麼僅可能有一個集合是沒有元素的，即空集是唯一的。

考慮空集為實數線（或任意拓撲空間）的子集，空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集，是它的子集，因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集，是它的子集，因此空集是開集。另外，空集是緊緻集合，因為凡有限集合都是緊緻的。

空集的閉包是空集。

空集和0

根據定義，空集有0個元素，或者稱其勢為0。然而，這兩者的關係可能更進一步：在標準的自然數的集合論定義中，0被定義為空集。

常見問題

空集不是「無」；它是「內部」沒有元素的集合，但這個集合是「存在」的，即「有」這個集合。這通常是初學者的一個難點。可以將集合想像成一個裝有其元素的袋子──袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。

有些人會想不通上述第一條性質，即空集是任意集合${\displaystyle A}$的子集。按照子集的定義，這條性質是說${\displaystyle \left\{\right\}}$的每個元素x都屬於${\displaystyle A}$。若這條性質不為真，那{}中至少有一個元素不在${\displaystyle A}$中。由於${\displaystyle \left\{\right\}}$中沒有元素，也就沒有${\displaystyle \left\{\right\}}$的元素不屬於${\displaystyle A}$了，得到${\displaystyle \left\{\right\}}$的每個元素都屬於${\displaystyle A}$，即${\displaystyle \left\{\right\}}$是${\displaystyle A}$的子集。

空集的運算

空集（作為集合）上的運算也可能使人迷惑。（這是一種「空運算」。） 例如：空集元素的和為0（「空和」），而它們的積為1（見空積）。這可能看上去非常奇怪，空集中沒有元素，他們是怎麼相加和相乘的呢？ 最終，這些運算的結果更多被看成是運算的問題，而不是空集的。比如，可以注意到0是加法的單位元素，而1是乘法的單位元素。

公理化集合論

在諸如策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如：若${\displaystyle A}$是集合，則分離公理允許構造集合${\displaystyle B=\left\{x\in A|x\neq x\right\}}$，它就可以被定義為空集。

範疇論

若A為集合，則恰好存在一個從${\displaystyle \left\{\right\}}$到${\displaystyle A}$的函數${\displaystyle f}$，即空函數。故此，空集是集合和函數的範疇的唯一初始物件。

空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間，即通過定義空集為開集；這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始物件。

哲學層面

儘管空集在數學中是一個標準，並被廣泛接受，仍然有人對它表示懷疑。

Jonathan Lowe認為，這一概念「無疑是數學歷史上的里程碑，……；不需要假設其在計算時的有效性要基於其確實表達了某些物件」，但在另一方面，「我們所知的空集只是它 (1)是個集合，(2)沒有元素，(3)在沒有元素的集合中唯一。然而，有很多東西『沒有元素』，在集合論角度而言，叫做非集合。為什麼它們沒有元素是顯而易見的，因為它們不是集合。不清楚的是，為什麼在集合中，沒有元素的集合是唯一的。僅僅通過約束是不可能將這麼一個實體變出來的。」^[3]

在"To be is to be the value of a variable…"，Journal of Philosophy，1984（在書Logic, Logic and Logic中再次發表）中，小George Boolos認為許多集合論中的結論，也可以透過對個體進行複數量化（英語：Plural quantification）來得到，所以無需把集合具體化為包含其他實體作為元素的實體。^[4]

參考資料

1. André Weil: Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8
2. Scott Pakin. The Comprehensive LaTeX Symbol List (PDF): p. 65. 2009-11-09 [2014-09-16]. （原始內容 (PDF)存檔於2015-03-28）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
3. E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005: 87.
4. George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.