外延公理

在公理化集合論與使用它的邏輯、數學和計算機科學分支中，外延性公理或外延公理（英語：Axiom of extensionality）是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。

形式陳述

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，它讀做:

${\displaystyle \forall A,\forall B:A=B\iff (\forall x:x\in A\iff x\in B)}$

換句話說:

給定任何集合${\displaystyle A}$和任何集合${\displaystyle B}$，${\displaystyle A}$等於${\displaystyle B}$，若且唯若給定任何集合${\displaystyle x}$，${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的一個成員若且唯若${\displaystyle x}$是${\displaystyle B}$的一個成員。

（這裏的${\displaystyle x}$是集合不是本質性的，但在ZF中所有東西都是集合。參見下面的帶有基本元素的集合論章節）。

解釋

要理解這個公理，注意上述符號陳述中圓括號內的子句簡單的聲稱了 A 和 B 有完全相同的成員。所以，這個公理實際上說的是兩個集合相等，若且唯若它們有完全相同的成員。它的本質是:

集合唯一的由它的成員來決定。(Every set is uniquely determined by its elements.)

外延性公理可以同 ${\displaystyle \exists A,\forall x:x\in A\iff P(x)}$ 形式的概括陳述一起使用，這裏的${\displaystyle P}$是不提及${\displaystyle A}$或${\displaystyle x}$的任何一元謂詞，來定義一個唯一集合${\displaystyle A}$，它的成員完全是滿足謂詞${\displaystyle P}$的集合。我們可以接着為${\displaystyle A}$介入新的符號；普通數學中的定義最終以這種方式工作的，當它們的陳述簡化到純集合論術語的時候。

外延性公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。但是對於某些使用需要修改。

在沒有等號的謂詞邏輯中

上面給出的公理假定等號是謂詞邏輯的基本符號。某些公理化集合論的做法是不做這個假定：有的不把上述陳述作為公理，而是作為對等號的定義。那麼，就必須連同來自謂詞邏輯中有關等式的公理，作為關於這個被定義的符號的公理。多數等式的公理仍能從這個定義得出；餘下的一個是

${\displaystyle \forall A,\forall B:(\forall x:x\in A\iff x\in B)\Rightarrow (\forall C:A\in C\iff B\in C)}$

而這就成為了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合論中

基本元素是自身不是集合的一個集合的一個元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中沒有基本元素，但在某些可替代的集合論的公理化中會有它們。基本元素可以被當作不同於集合的邏輯類型；在這種情況下，如果${\displaystyle A}$是基本元素，則${\displaystyle x\in A}$沒有意義，所以外延性公理只適用於集合。

作為選擇之一，在無類型邏輯中我們可以要求${\displaystyle x\in A}$在${\displaystyle A}$是基本元素的時候為假。在這種情況下，平常的外延性公理將蘊涵所有基本元素等於空集。為了避免這樣，我們可以修改外延性公理為只適用於非空集合，並把它讀為:

${\displaystyle \forall A,\forall B,\exists x:x\in A\implies (A=B\iff (\forall y:y\in A\iff y\in B)).}$

就是說:

給定任何集合${\displaystyle A}$和任何集合${\displaystyle B}$，如果${\displaystyle A}$是非空集合(就是說存在着${\displaystyle A}$的一個成員${\displaystyle x}$)，那麼${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$是相等的，若且唯若它們有完全相同的成員。

另一個選擇，在無類型邏輯中可定義${\displaystyle A}$在${\displaystyle A}$是基本元素的時候自身是${\displaystyle A}$的唯一的元素。儘管這個方式可以勝任保存外延性公理，但基礎公理反而需要調整。

引用

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.