橫截性

數學中，橫截性是描述空間如何相交的概念，可以看做切的反面，在一般位置中發揮作用。橫截性形式化了微分拓撲中一般交的概念，是通過考慮交空間在交點的線性化定義的。

定義

球面上的橫截曲線

球面上的非橫截曲線

給定有限維光滑流形的兩子流形，若在交集的每一點，其各自的切空間共同生成該點處環繞空間的切空間，則稱這兩個子流形橫截相交。^[1]不交的流形是虛橫截的。若流形維度互補（即維度之和等於環繞空間維度），則條件意味着環繞流形的切空間是兩較小切空間的直和。橫截交是余維數等於兩流形余維數之和的子流形。若沒有橫截性條件，則交可能有某種奇點，不是子流形。

具體來說，這意味着維度互補的橫截子流形相交於孤立點（即0維流形）。若兩子流形和環繞空間都有向，則交點也有向。0維的交的方向只是每個點的加號或減號。

給定流形M的兩子流形${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$的橫截交可以記作${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}}$，這樣橫截性的定義是

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}+T_{p}L_{2}.}$

映射的橫截性

一對子流形的橫截性可以輕易推廣為子流形與到環繞流形映射的橫截性、一對到環繞流形的映射的橫截性，方法是看切空間沿像交點之預像的前推是否生成了環繞流形的整個切空間。^[2]若映射是嵌入，則等價於子流形的橫截性。

不同維度橫截性的含義

橫截性取決於環繞空間。如圖所示的兩條曲線嵌入平面時是橫截的，但若嵌入3維空間，就不是橫截的了

有橫截映射${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M,\ f_{2}:L_{2}\to M}$，其中${\displaystyle L_{1},L_{2}}$、M分別是${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$、m維流形。

則，橫截性的意義因${\displaystyle M,L_{1},\ L_{2}}$的相對維度不同而有很大差異。${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$時，橫截性與相切性之間的關係最清晰。

分3種情形討論：

1. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$時，${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$切空間的像不可能在任何一點上張成M的切空間，於是${\displaystyle f_{1},\ f_{2}}$的交不可能是橫截的。但非交流形虛真地滿足這個條件，所以也可以說它們橫截相交。
2. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$時，${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$切空間的像在交的每一點都可作直和，得到M的切空間。於是，其交由孤立的有符號點（即0維流形）組成。
3. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$時，和不必是直和。實際上如果${\displaystyle f_{1},\ f_{2}}$在交點處是浸入，就不能是直和，就像嵌入子流形的情形。若映射是浸入，其像之交將是${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m}$維流形。

交積

給定任意兩光滑子流形，可以任意微量地擾動其中一個，從而使兩者橫截相交。這樣的微擾不會影響流形或交的同調類。例如，若維度互補的流形橫截相交，將其環繞同痕到另一個橫截相交，交點數的符號和也不會改變（交點可以用模2計數，忽略符號，這樣得到更粗的不變量）。這就產生了任意維度同調類的雙線性交積，龐加萊對偶於上同調上的上積。與上積類似，交積也是分次交換的。

橫截交的例子

最簡單的非平凡例子是曲面上的弧。若且唯若兩弧交點不是切點，即在曲面切平面內的切線不同時，兩弧是橫截相交的。

3維空間中，橫截曲線不會相交。曲線會與曲面橫截相交於點，曲面會彼此橫截相交於曲線。與曲面相切於一點的曲線（如位於曲面上的曲線）不會橫截相交。

下面是更特殊的例子：假設G是單李群，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$是其李代數。由雅各布森-莫洛佐夫定理，所有冪零元${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$都可包含於${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$三元組${\displaystyle (e,h,f)}$中。${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$的表示論說明${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$。空間${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$是伴隨軌道${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$在e處的切空間，於是仿射空間${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$與e的軌道橫截相交。空間${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$也稱作「Slodowy切片」。

應用

最優控制

在利用變分法或相關的龐特里亞金最大化原理的領域，橫截性條件常用於控制優化問題解的類型。例如，它是以下形式問題的解曲線的必要條件：

${\displaystyle {\rm {min}}\int {F(x,y,y^{\prime })}{\rm {d}}x}$，其中曲線端點不固定。

在很多此類問題中，解曲線都要橫截穿過零傾（nullcline）線或其他描述終止條件的曲線。

解空間的光滑性

薩德定理的假設是映射橫截性的特例。用薩德定理可以證明，維度互補的子流形之間，或子流形與到空間的映射之間的橫截交是光滑子流形。例如，若將有向流形切叢的光滑截面（即向量場）視為基到總空間的映射，並與零截面（無論視作映射還是子流形）橫截相交，則截面的零集（即向量場的奇點）形成基的光滑0維子空間（即有符號點集）。符號與向量場的指標一致，因此符號之和（即零集的基類）等於流形的歐拉特徵。更一般地說，對於有限維有向光滑閉流形上的向量叢，橫截於截面的零集是余維數等於叢之秩的基的子流形，其同調類龐加萊對偶於叢的歐拉類。

一個及其特殊的情形是：若實數到實數的可微函數在零點有非零的導數，則稱之為簡單零點，圖像在此處橫截於x軸；零導數意味着曲線的水平切線，與x軸的切空間一致。

舉個無限維的例子，d-bar算子是黎曼曲面到殆複流形的映射空間上某巴拿赫空間叢的一個截面，其零集包含全純映射。若可以證明d-bar算子橫截於零截面，則此模空間將是光滑流形。這些因素在偽全純曲線與格羅莫夫–威滕理論中起着基礎性作用（注意此例中，為處理巴拿赫空間，橫截性的定義必須細化！）。

另見

• 橫截性定理

註釋

1. Guillemin and Pollack 1974, p.30.
2. Guillemin and Pollack 1974, p.28.

參考文獻

• Thom, René. Quelques propriétés globales des variétés differentiables. Comment. Math. Helv. 1954, 28 (1): 17–86. S2CID 120243638. doi:10.1007/BF02566923.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan. Differential Topology. Prentice-Hall. 1974. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris. Differential Topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.