外代數(英語:Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代數(Grassmann algebra),以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。
實外代數中,
n 階元素的幾何詮釋:
n = 0(具有正負號的點),1(具有指向的線段,即
向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的體積)。
n個向量的外積可以圖像化為
n維幾何物體(例如
n維
平行六面體,
n維
橢球);其大小為
超體積(hypervolume),其
定向的定義由
(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。
[1][2]
數學上,向量空間
的外代數是一個特定有單位的結合代數,其包含了
為其中一個子空間。它記為
或
. 而它的乘法,稱為楔積或外積,記為
. 楔積是結合的和雙線性的;其基本性質是它在
上是交錯的,也就是:
,對於所有向量![{\displaystyle v\in V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99886ebbde63daa0224fb9bf56fa11b3c8a6f4fb)
這表示
,對於所有向量
,以及
,當
線性相關時。
值得注意的是,以上三性質只對
中向量成立,不是對代數
中所有向量成立。
外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味着所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。
的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示,請參看下文。
形式為
的元素,其中
在
中,稱為
-向量。所有
-向量生成的
的子空間稱為
的
-階外冪,記為
。外代數可以寫作每個
階冪的直和:
![{\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3394be5d779ae030e907bb992e430fa6ce765a)
該外積有一個重要性質,就是
-向量和
-向量的積是一個
-向量。這樣外代數成為一個分次代數,其中分級由
給出。這些
-向量有幾何上的解釋:2-向量
代表以
和
為邊的帶方向的平行四邊形,而3-向量
代表帶方向的平行六面體,其邊為
,
, 和
。
外冪的主要應用在於微分幾何,其中他們用來定義微分形式。因而,微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。