格林-陶定理

格林-陶定理（英語：Green-Tao theorem）是本·格林（英語：Ben_Green_(mathematician)）和陶哲軒於2004年證明的一個關於質數組成的等差數列存在性定理^[1]。質數序列包含任意長的等差數列，是格林-陶定理的著名推論。

定理內容

對於任意的素數集合的子集${\displaystyle A}$，若${\displaystyle A}$相對於素數集合的上密度（英語：upper density）為正，即：

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\dfrac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0}$

其中，${\displaystyle \pi (N)}$代表不大於${\displaystyle N}$的素數的個數。

那麼：

對於任意的正整數${\displaystyle k}$，${\displaystyle A}$中的元素可以組成任意多個長度為${\displaystyle k}$的等差數列。^[1]

推論

格林-陶定理有以下兩個直接的推論：

• 對於任意正整數${\displaystyle k}$，質數序列中存在任意多長度為${\displaystyle k}$的等差子序列
• 質數序列中包含有任意長的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列

質數序列中長度為${\displaystyle k}$的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

{a_n=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相關定理與猜想

• 格林-陶定理是塞邁雷迪定理在素數集上的推廣。
• 格林-陶定理是埃爾德什等差數列猜想的一個特例。
• 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度非r−1階階差數列的r階階差數列（0階階差數列是常數數列，1階階差數列是等差數列，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，質數序列中長度為${\displaystyle k}$的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

參考文獻

1. Green, Ben; Tao, Terence, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 2008, 167 (2): 481–547, arXiv:math.NT/0404188 , doi:10.4007/annals.2008.167.481.

外部連結

• MathWorld news article on proof （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Primes in Arithmetic Progression Records （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）