李超代數 是李代數 的推廣,包含了Z 2 ‑分次代數 。李超代數在理論物理 中十分重要,用於描述超對稱 的數學理論。其中,超代數的偶元素大多對應玻色子 ,奇元素大多對應費米子 (也有相反者,如BRST超對稱 )。
定義
形式上看,李超代數是交換環 (一般是R 或C )上的非結合Z 2 -分次代數 ,或「超代數 」,其積為[·, ·],稱作李超括號 或超交換子 ,滿足兩個條件(與分次的通常李代數 類似):
超反對稱性(skew-symmetry):
[
x
,
y
]
=
−
(
−
1
)
|
x
|
|
y
|
[
y
,
x
]
.
{\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }
超雅可比恆等式:[1]
(
−
1
)
|
x
|
|
z
|
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
(
−
1
)
|
y
|
|
x
|
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
(
−
1
)
|
z
|
|
y
|
[
z
,
[
x
,
y
]
]
=
0
,
{\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}
其中x 、y 、z 在Z 2 分次中為純。|x |表示x 的度(0或1)。[x,y]的度是x、y度之和模2。
有時,還會在
|
x
|
=
0
{\displaystyle |x|=0}
時添加公理
[
x
,
x
]
=
0
{\displaystyle [x,x]=0}
(若2可逆,則公理自動成立);對
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
時,有
[
[
x
,
x
]
,
x
]
=
0
{\displaystyle [[x,x],x]=0}
(若3可逆,則公理自動成立)。當基環是整數或李超代數是自由模時,這些條件等同於龐加萊–伯克霍夫–威特定理 成立的條件(一般而言是定理成立的必要條件)。
正如對李代數一樣,李超代數的泛包絡代數 可被賦予霍普夫代數 結構。
反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數 (按Z 或N 分次)也有
Z
2
{\displaystyle Z_{2}}
分次(稱作將代數「卷」為奇偶部分),但不稱作「超」。
性質
令
g
=
g
0
⊕
g
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}
為李超代數。通過觀察雅可比恆等式,可發現有8種情況取決於參數的奇偶。以奇元素個數為索引,分成4類:[2]
無奇元素。即
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
為平凡李代數。
1個奇元素。則
g
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
是作用
a
d
a
:
b
→
[
a
,
b
]
,
a
∈
g
0
,
b
,
[
a
,
b
]
∈
g
1
{\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}
的
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
模。
2個奇元素。雅可比恆等式說明括號
g
1
⊗
g
1
→
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}
是對稱
g
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
映射。
3個奇元素。對所有
b
∈
g
1
{\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}
,都有
[
b
,
[
b
,
b
]
]
=
0
{\displaystyle [b,[b,b]]=0}
。
因此,李超代數的偶超代數
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
形成(正常)李代數,因為所有符號都消失了,超括號變為普通李括號;而
g
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
是
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
的線性表示,存在對稱
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
等變 線性映射
{
⋅
,
⋅
}
:
g
1
⊗
g
1
→
g
0
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}
使得
[
{
x
,
y
}
,
z
]
+
[
{
y
,
z
}
,
x
]
+
[
{
z
,
x
}
,
y
]
=
0
,
x
,
y
,
z
∈
g
1
.
{\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}
條件(1)–(3)是現行的,都可以用普通李代數來理解。條件(4)是飛現行的,且是在從普通李代數(
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
)和表示(
g
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
)開始構造李超代數時最難驗證的條件。
對合
∗ 李超代數 是配備自身到自身的對合 反線性映射 的復李超代數,映射反映Z 2 分次且對李超代數中所有x 、y 都有
[
x
,
y
]
∗
=
[
y
∗
,
x
∗
]
{\displaystyle [x,\ y]^{*}=[y^{*},\ x^{*}]}
(有人更喜好約定
[
x
,
y
]
∗
=
(
−
1
)
|
x
|
|
y
|
[
y
∗
,
x
∗
]
{\displaystyle [x,\ y]^{*}=(-1)^{|x||y|}[y^{*},\ x^{*}]}
;將*改為−*可在兩種約定之間切換)。其泛包絡代數 將是普通對合代數 。
例子
給定結合超代數
A
{\displaystyle A}
,可通過以下方式定義齊次元素上的超交換子:
[
x
,
y
]
=
x
y
−
(
−
1
)
|
x
|
|
y
|
y
x
{\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }
然後線性延伸到所有元素。代數
A
{\displaystyle A}
與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當
A
{\displaystyle A}
為超向量空間
V
{\displaystyle V}
中所有線性函數
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle \mathbf {End} (V)}
的空間。
V
=
K
p
|
q
{\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}
時,該空間可表為
M
p
|
q
{\displaystyle M^{p|q}}
或
M
(
p
|
q
)
{\displaystyle M(p|q)}
。[3] 用上述李括號,空間可表為
g
l
(
p
|
q
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}
。[4]
同倫群上的懷特海德積 給出了許多整數上的李超代數的例子。
超龐加萊代數 生成了平面超空間 的等距。
分類
維克托·卡茨 對簡單復有限維李超代數進行了分類:(不包括李代數)[5]
特殊線性李超代數
s
l
(
m
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}
.
李超代數
s
l
(
m
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}
是
g
l
(
m
|
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}
的超代數,包含超跡為0的矩陣。
m
≠
n
{\displaystyle m\not =n}
時是簡單的;
m
=
n
{\displaystyle m=n}
時,單位矩陣
I
2
m
{\displaystyle I_{2m}}
產生一個理想。對理想取商,可得
s
l
(
m
|
m
)
/
⟨
I
2
m
⟩
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }
,對
m
≥
2
{\displaystyle m\geq 2}
是簡單的。
正交辛李超代數
o
s
p
(
m
|
2
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}
.
考慮
C
m
|
2
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}
上的偶、非退化、超對稱雙射形式
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
,則正交辛李超代數是
g
l
(
m
|
2
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}
的超代數,包含的矩陣滿足下式不變:
o
s
p
(
m
|
2
n
)
=
{
X
∈
g
l
(
m
|
2
n
)
∣
⟨
X
u
,
v
⟩
+
(
−
1
)
|
X
|
|
u
|
⟨
u
,
X
v
⟩
=
0
for all
u
,
v
∈
C
m
|
2
n
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}
其偶部由
s
o
(
m
)
⊕
s
p
(
2
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}
給出。
例外李超代數
D
(
2
,
1
;
α
)
{\displaystyle D(2,1;\alpha )}
.
有一族取決於參數
α
{\displaystyle \alpha }
的(9∣8)維李超代數,它們是
D
(
2
,
1
)
=
o
s
p
(
4
|
2
)
{\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}
的變形。若
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \not =0}
、
α
≠
−
1
{\displaystyle \alpha \not =-1}
,則D(2,1,α)是簡單的;若
α
{\displaystyle \alpha }
、
β
{\displaystyle \beta }
在映射
α
↦
α
−
1
{\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}
、
α
↦
−
1
−
α
{\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }
的作用下處於同一軌道,則
D
(
2
,
1
;
α
)
≅
D
(
2
,
1
;
β
)
{\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}
。
例外李超代數
F
(
4
)
{\displaystyle F(4)}
.
具有維度(24|16)。偶部由
s
l
(
2
)
⊕
s
o
(
7
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}
給出。
例外李超代數
G
(
3
)
{\displaystyle G(3)}
.
具有維度(17|14)。偶部由
s
l
(
2
)
⊕
G
2
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}
給出。
還有2個所謂「奇異」序列,分別叫做
p
e
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}
、
q
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}
.
Cartan類型 。可分為4族:
W
(
n
)
{\displaystyle W(n)}
、
S
(
n
)
{\displaystyle S(n)}
、
S
~
(
2
n
)
{\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}
、
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
。對於簡單李超代數的Cartan類型,奇部在偶部的作用下不再完全可還原。
無窮維簡單線性緊李超代數的分類
分類包含10個系列W (m , n ), S (m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n) , K (2m + 1, n ), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO (m , m ) (m ≥ 3), KO (m , m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m , 2m ), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5個例外代數:
E(1, 6) , E(5, 10) , E(4, 4) , E(3, 6) , E(3, 8)
最後兩個特別有趣(據Kac所說),因為它們的零級代數是標準模型規範群SU (3)×S U(2)×U (1)。無窮維(仿射)李超代數是超弦理論 中重要的對稱,具體來說,具有
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
超對稱的Virasoro代數是
K
(
1
,
N
)
{\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}
,其只有中心擴展到
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
。[6]
範疇論定義
範疇論 中,李超代數 可定義為非結合超代數 ,其積滿足
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
id
+
τ
A
,
A
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}
[
⋅
,
⋅
]
∘
(
[
⋅
,
⋅
]
⊗
id
∘
(
id
+
σ
+
σ
2
)
=
0
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}
其中σ是循環包絡辮
(
id
⊗
τ
A
,
A
)
∘
(
τ
A
,
A
⊗
id
)
{\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}
。以圖表示:
另見
註釋
參考文獻
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外部連結