數書九章》又名《數學九章》,共18卷,南宋數學家秦九韶著於淳祐七年(1247年)。

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欽定《四庫全書》 《數書九章》

題材

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宜稼堂 《數書九章》十八卷

《數書九章》題材廣泛,取自宋代社會各方面,包括農業天文水利、城市佈局、建築工程、測量賦稅兵器、軍旅等方面,是一部實用數學大全。

《數書九章》十八卷,分為九類,每類九問,共九九八十一問。

  • 第一,二卷:一大衍類:蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。
  • 第三,四卷:二天時類;推氣治歷,治歷推閏,治歷演紀,綴術推星,揆日究微,天池測雨,圓罌測雨,峻積驗雪,竹器驗雪。
  • 第五,六卷:三田域類;尖田求積,三斜求積,斜蕩求積,計地容民,蕉田求積,均分梯田,漂田推積,環田三積,圍田先計。
  • 第七,八卷:四測望類;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,望敵遠近,古池推元,表望浮圖。
  • 第九,十卷:五賦役類;服邑修賦,圍田租畝,築梗均勞,寬減屯租,戶田均寬,均科綿稅,戶稅移割,移運均勞,均定勸分。
  • 第十一,十二卷:六錢穀類;折解輕齎,算回運費,課糴貴賤,囤積量容,積倉知數,推知糴數,分定綱解,累收庫本,米穀粒分。
  • 第十三,十四卷:七營建類;計定城築,樓櫓功料,計造石壩,計浚河渠,計作清台,堂皇程築,砌磚計積,竹圍蘆束,積木計余。
  • 第十五,十六卷:八軍旅類;計立方營,方變銳陣,計布圓陣,圓營敷布,望知敵眾,均敷徭役,先計軍程,軍器功程,計造軍衣。
  • 第十七,十八卷:九事物類;推求物價,均貨攤本,互易推本,菽粟互易,推計互易,煉金計值,推本求息,推求典本,僦值推原。

內容

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《數書九章》 三斜求積
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表望浮屠
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宜稼堂 《數書九章》正負開三乘方圖
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遙度圓城
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秦九韶大衍術

算術

  • 分數計算折扣;折解輕齎,米穀粒分,課糴貴賤。
  • 百分比計算;煉金計值,推求典本,累收庫本。
  • 比例;先計軍程,均科綿稅,堂皇程築,軍器功程,互易推本,菽粟互易,推計互易。
  • 盈不足術;計造軍衣。
  • 級數;綴術推星,計造石壩,積木計余,圓營敷布,竹圍蘆束,推本求息,計立方營。

幾何學

  • 面積計算;三斜求積,斜蕩求積,蕉田求積。

《數書九章》第五卷 第二問「三斜求積」。

問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知為田幾何?
答曰:田積三百一十五頃。
術曰:以少廣求之。以小斜冪並大斜冪減中斜冪,余半之,自乘於上。以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,為實。一為從隅,開平方之,得積。

其中,「三斜」即「大斜」、「中斜」、「小斜」,是三角形從大到小的三條邊。秦九韶列出的面積公式是:

,其中 , 這個公式和海倫公式是等價的。

  • 重差測量;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,表望浮圖。
  • 體積計算;天池測雨,圓罌測雨。

多項式方程

  • 均分梯田,古池推元,囤積量容,計布圓陣,推知糴數,尖田求積,環田三積,遙度圓城。

秦九韶的《數書九章》詳細敘述二十六個二次到十次方程的的實數根的數值解,其中包含二十個二次方程,一個三次方程,四個四次方程和一個十次方程 [1]三上義夫指出,秦九韶算法起源於漢代《九章算術》的開方法。前蘇聯數學史家尤什克維奇說「這是中國傳統數學最偉大成就之一」,他還說印度人不知有此方法,而阿拉伯數學家可能從中國先人傳入此方法[2],六百年之後,英國數學家威廉·喬治·霍納英語William George Horner重新發現此法。

《數書九章》「《遙度圓城》」 題列出一個十次方程,求解圓城的直徑:

,得精確解 [3]

線性方程組

  • 綴術推星,推求物價,均貨攤本。

線性方程組的消元法起源於《九章算術》卷八《方程》章。秦九韶在《數書九章》卷17第73問發展了《九章算術》的消元法,創造了互乘消元法[4]

大衍術

  • 蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。

天文曆法

  • 古歷會積,求上元積年
  • 推氣置歷,求冬至時間。
  • 治歷推閏,
  • 治歷演記,求上元積年。
  • 綴術推星,計算木星的運行速度。
  • 揆日究微。

版本

參考文獻

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