指示函數

此條目介紹的是集合的0-1指示函數。關於其他指示特徵的函數，請見「示性函數」。

在集合論中，指示函數是定義在某集合X上的函數，表示其中有哪些元素屬於某一子集A。指示函數有時候也稱為示性函數或特徵函數。

集X的子集A的指示函數是函數${\displaystyle 1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace }$，定義為

${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1\\0\end{cases}}\quad }$	若 ${\displaystyle x\in A}$
	若 ${\displaystyle x\notin A}$

A的指示函數也記作${\displaystyle \chi _{A}(x)\,}$或${\displaystyle I_{A}(x)\,}$。

簡單性質

把X的子集A對應到它的指示函數的映射是雙射，值域是所有函數${\displaystyle f:X\to \{0,1\}}$的集合。

如果A和B是X的兩個子集，那麼

${\displaystyle 1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}1_{B}\,}$，

以及

${\displaystyle 1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B}\,}$。

更一般地，設A₁, ..., A_n是X的子集。對任意${\displaystyle x\in X}$，可知

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}}(x))=1}$若且唯若x不屬於任何A_k。

故有

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}})=1_{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-1_{\bigcup _{k}A_{k}}}$。

展開左式

${\displaystyle 1_{\bigcup _{k}A_{k}}}$	${\displaystyle =1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}$
	${\displaystyle =\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}$，

其中|F|是F的勢。這是容斥原理的一個形式。

如上一例子所示，指示函數是組合數學一個有用記法。這記法也用在其他地方，例如在概率論：若X是概率空間，有概率測度P，A是可測集，那麼1_A就是隨機變量，其期望值等於A的概率。

${\displaystyle E(1_{A})=\int _{X}1_{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A)}$。

這等式用於馬爾可夫不等式的一個簡單證明裏。