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集合中的特定元素,在以二元运算与其他元素结合时不改变其他元素 来自维基百科,自由的百科全书
單位元素(unit element[1])也稱恆等元(identity element)、中立元(neutral element)、恆元,是集合裏的一種特殊元素,與該集合裏的二元運算有關。單位元素和其他元素結合時,並不會改變那些元素。單位元素在群和其他相關概念中都有使用。
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設為一帶有一二元運算的集合(稱為原群)。若內有一元素對S內所有元素a滿足,則被稱為左單位元素;若滿足,則稱為右單位元素。而若同時為左單位元素及右單位元素,則稱為雙邊單位元素,又簡稱為單位元素。
對應加法的單位元素稱為加法單位元素(通常被標為0),而對應乘法的單位元素則稱為乘法單位元素(通常被標為1)。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上,比如環。
集合 | 運算 | 單位元素 |
---|---|---|
實數 | +(加法) | 0 |
實數 | ·(乘法) | 1 |
實數 | (乘方) | 1(只為右單位元素) |
複數 | +(加法) | 0 |
複數 | ·(乘法) | 1 |
矩陣 | +(加法) | 零矩陣 |
方陣 | ·(乘法) | 單位矩陣 |
所有從集合M映射至其自身的函數 | (函數複合) | 單位函數 |
所有從集合M映射至其自身的函數 | (卷積) | (狄拉克δ函數) |
字串 | 串接 | 空字元串 |
擴展的實軸 | 最大值 | |
擴展的實軸 | 最小值 | |
集合M的子集 | (交集) | M |
集合 | (併集) | (空集) |
布爾邏輯 | (邏輯與) | ⊤(真值) |
布爾邏輯 | (邏輯或) | ⊥(假值) |
閉二維流形 | #(連通和) | |
只兩個元素 | * 定義為 且 |
和都是左單位元素,但不存在右單位元素和雙邊單位元素 |
如最後一個例子所示,有多個左單位元素是可能的,且事實上,每一個元素都可以是左單位元素。同樣地,右單位元素也一樣。但若同時存在有右單位元素和左單位元素,則它們會相同,且僅存在一個雙邊單位元素。要證明這個,設為左單位元素且為右單位元素,則。特別的,不存在兩個以上的單位元素。若有兩個單位元素和,則必同時等於和。
一個代數也可能沒有單位元素。最常見的例子為向量的內積和外積。前者缺乏單位元素的原因在於,相乘的兩個元素都會是向量,但乘積卻會是個純量。而外積缺乏單位元素的原因則在於,任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正交,因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。
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