實數線

數學上，實數軸就是實數的集合 R。然而，這一術語通常在 R 被當作某種空間（諸如拓撲空間，向量空間）的時候使用。儘管至少早在古希臘時代，人們就開始研究實數線，但直到1872年，它才被嚴格地定義。而自始至終，它一直是在數學的許多分支中扮演重要角色的實例。

定義

實數線具有一個標準拓撲，它可以通過兩種等價的方法引入。

• 第一，實數滿足全序關係，它們具有序拓撲。
• 第二，實數能夠通過絕對值 ${\displaystyle d(x,y):=|y-x|}$ 的度量轉換到度量空間。這一度量給出 R 上等價於序拓撲的拓撲。

應用

• 作為拓撲空間，實數線是個 1 維的拓撲流形。

它既是可縮空間、局部緊緻空間，也是仿緊緻空間、第二可數空間。 它還具有標準可微結構，使它成為可微流形。 （由於可微同構，該拓撲空間只支持一個可微結構。） 事實上，R 是歷史上研究這些數學結構的第一個實例，它啟示了現代數學這些分支。 （實際上，上述這些術語中的其中一些在沒有 R 的情況下甚至不能被定義。）

• 作為向量空間，實數線是實數域 R（即其自身）上的 1 維向量空間

它具有標準內積，使它成為歐幾里得空間。 （這個內積就是普通的實數的乘法。） 作為向量空間，它並不引起注意。實際上是 2 維歐幾里得空間首先被作為向量空間進行研究的。 然而，仍然可以說，由於向量空間首先是在 R 上進行研究的，它啟示了線性代數。

• R 也是環，甚至是域的主要實例。

實數完備域實際上是第一個被研究的域，所以它也啟示了抽象代數。 然而，在純代數文獻中，R 幾乎不被稱為「線」。

更多信息，請參見實數。

相關條目

• 擴展實數線

參考文獻

• Munkres, James. Topology 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2.
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 978-0-07-100276-9.