同倫

同倫（英語：Homotopic^{[註 1]}）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。兩個定義在拓撲空間之間的連續函數，如果其中一個能「連續地形變」為另一個，則這兩個函數稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函數之間的同倫。同倫的一個重要的應用是同倫群和餘倫群（英語：Cohomotopy group）的定義，它們是代數拓撲中重要的不變量（英語：Invariant (mathematics)）。

圖中的兩條虛線相對於它們的端點是同倫的。動畫表示了一種可能的同倫。

事實上，在特定的空間中應用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW複形或譜（英語：Spectrum_(topology)）。

定義

兩個將環面映射到R³的嵌入之間的同倫：「咖啡杯的表面」與「甜甜圈的表面」。這也是一個同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 ${\displaystyle X\,\!}$ 和 ${\displaystyle Y\,\!}$。考慮兩個連續函數 ${\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$，若存在一個定義在空間 X 與單位區間 [0,1] 的積空間上的連續映射 ${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$ 使得：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$

則稱${\displaystyle H}$是 ${\displaystyle f,\,g}$之間的一個同倫^[1]:183。

如果我們將 H 的第二個參數當作時間，這樣 H 相當於描述了一個從 f 到 g 的連續形變：0 時刻我們得到函數f，1 時刻我們得到函數 g。 我們也可以將第二個參數視作一個可以滑動的「控制條」，當控制條從0滑動至1時，函數 f 平滑地轉變為函數 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個${\displaystyle x\in X\,\!}$，函數 ${\displaystyle H\,\!}$ 定義一條連接 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 與 ${\displaystyle g(x)\,\!}$的路徑：

${\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}$

右側的循環動畫展示了兩個嵌入R³中的環面之間的同倫。X 是環面，Y 是 R³。f，g 是從環面到 R³的連續函數，當動畫開始時，f 把環面映射為嵌入的甜甜圈的表面。g 把環面映射為嵌入的咖啡杯表面。動畫展示了h_t(x)作為時間的函數時的圖像。每一次循環中，時間 t 從 0 變成 1，暫停一會，又從 1 變成 0。

性質

當且僅當存在同倫 H 將 f 轉換為 g時，稱連續函數 f 和 g 是同倫的。同倫是 X 到 Y 上所有的連續函數之間的一種等價關係^[1]:184。以下情形中，同倫關係滿足函數的複合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同倫的，並且 f₂, g₂ : Y → Z 是同倫的，則他們的複合 f₂ ∘ f₁ 與 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同倫的。

例子

例一：取 ${\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$, ${\displaystyle f(x)=1\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=-1\,\!}$。則${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$ 透過下述函數在 ${\displaystyle Y\,\!}$ 中同倫。

${\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}$

（注意到此例子不依賴於變數 ${\displaystyle x}$，通常並非如此。）

註：「在${\displaystyle Y}$中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將${\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!}$代為子空間${\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!}$，則雖然${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$仍取值在${\displaystyle Y'\,\!}$，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取${\displaystyle X=[0,1]\,\!}$,${\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!}$,${\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!}$ 及 ${\displaystyle g(x)=0\,\!}$。則${\displaystyle f\,\!}$描繪一個以原點為圓心的單位圓； ${\displaystyle g\,\!}$停在原點。${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$ 透過下述連續函數同倫：

${\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}$

幾何上來看，對每個值${\displaystyle t\,\!}$，函數${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$描繪一個以原點為圓心，半徑 ${\displaystyle 1-t}$ 的圓。

相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$是連續函數，固定子空間 ${\displaystyle K\subset X}$；若存在前述同倫映射 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$，滿足：

• ${\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}$
• ${\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}$

則稱 ${\displaystyle f,g}$ 相對於 ${\displaystyle K}$ 同倫。若取 ${\displaystyle K=\emptyset }$，則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價

給定兩個拓撲空間${\displaystyle E\,\!}$ 與 ${\displaystyle F\,\!}$，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），當且僅當存在兩個連續映射${\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!}$與${\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!}$，使得：

• ${\displaystyle g\circ f\,\!}$ 同倫到 ${\displaystyle E\,\!}$ 的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$。
• ${\displaystyle f\circ g\,\!}$ 同倫到 ${\displaystyle F\,\!}$ 的恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$。

同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子：

例三：

• 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!}$，即去掉一點的平面。
• 線段${\displaystyle [a,b]\,\!}$、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裏的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。

同痕

同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數${\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 和 ${\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!}$ 是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如此：${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle g\,\!}$被稱為同痕的，當且僅當存在連續映射${\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!}$使之滿足：

• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}$
• 對所有${\displaystyle t\in [0,1]\,\!}$，映射${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!}$是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

註釋

1. 源自希臘語：ὁμός homós，意為「相同，相似的」與希臘語：τόπος tópos，意為「方位」

參考

1. Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 機械工業出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114. 引文格式1維護：日期與年 (link)

參見

• Homeotopy（英語：Homeotopy）
• 龐加萊猜想
• 同倫範疇
• 同倫類型論
• 纖維-同倫等價（英語：Fiber-homotopy equivalence）
• 映射類群（英語：Mapping class group）
• 正則同倫（英語：Regular homotopy）