例子. 考慮 12 階循環群
,它具有三個相異的合成列
,
,
![{\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5b2620a8cdf404f273c3b7f11f3331d97d373a)
合成因子分別為
![{\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13d61d7e8df4a4f2aa7b4221714683758cabcff)
![{\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ef5505aec08830e87ccba41f8ab8addbcdea5c)
![{\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f49f9f223d1814173eb23edc36edb7653f5cc5)
其間僅差個置換。
- 定理. 若群
〔或
-模
〕有合成列,則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關,其間至多差一個置換。
略證:以下僅處理模的情形,群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列
![{\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc223762075b787cadfcf20ac4d41f6e7b780b7)
![{\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7d1f1e2dee41d644cd352449ebdbac5ca93553)
對
行數學歸納法。若
則
,若
則
是單模。以下假定
。
若
,據歸納法假設,
且
與
(
)之間僅差置換。此外
,故定理成立。
設
。此時必有
。置
,於是
![{\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fbbf4e6e034d3fbda62733cad83b1d2ff9cde0)
![{\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31d45fce7429a359d0c83c397c6bc178e6ea3fc)
取
的合成列
,依上式知
![{\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eea3d315d7219f1b79088c189b056ce1970661e)
![{\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde3fdadbb0a9d9b96be295c32977e019bf77f33)
皆為合成列,其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設,若同刪去尾項
,則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列
的合成因子,至多差個置換。是故定理得證。