雙伽瑪函數 是伽瑪函數 的對數導數 。
ψ
(
x
)
=
d
d
x
ln
Γ
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}
複平面 上的雙伽瑪函數
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
。點
s
{\displaystyle s}
的顏色與
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
的值有關。強烈的顏色意味着接近於零的值,而色彩則與輻角 有關。
它是第一個多伽瑪函數 。
與調和數的關係
雙伽瑪函數,通常用ψ0 (x )、ψ0 (x )或
Ϝ
{\displaystyle \mathrm {\Digamma} }
來表示,與調和數 有以下的關係:
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}
其中H n 是第n 個調和數,γ是歐拉-馬歇羅尼常數 。對於半整數的值,它可以表示為:
ψ
(
n
+
1
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
+
∑
k
=
1
n
2
2
k
−
1
{\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}
積分表示法
它有以下的積分 表示法:
ψ
(
x
)
=
∫
0
∞
(
e
−
t
t
−
e
−
x
t
1
−
e
−
t
)
d
t
{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}
也可以寫為
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
+
∫
0
1
1
−
x
s
1
−
x
d
x
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}
這可以從調和數的歐拉積分公式得出。
泰勒級數
雙伽瑪函數有一個有理ζ級數 ,由z =1的泰勒級數給出。這是
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
ζ
(
k
+
1
)
(
−
z
)
k
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}
,
當|z |<1時收斂。在這裏,
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
是黎曼ζ函數 。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函數 的泰勒級數推導出。
牛頓級數
雙伽瑪函數的牛頓級數 可從歐拉積分公式得出:
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
(
s
k
)
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}
其中
(
s
k
)
{\displaystyle \textstyle {s \choose k}}
是二項式係數 。
反射公式
雙伽瑪函數滿足一個反射公式 ,類似於伽瑪函數 的反射公式:
ψ
(
1
−
x
)
−
ψ
(
x
)
=
π
cot
(
π
x
)
{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}
遞推關係
雙伽瑪函數滿足以下的遞推關係 :
ψ
(
x
+
1
)
=
ψ
(
x
)
+
1
x
{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}
高斯和
雙伽瑪函數具有以下形式的高斯和 :
−
1
π
k
∑
n
=
1
k
sin
(
2
π
n
m
k
)
ψ
(
n
k
)
=
ζ
(
0
,
m
k
)
=
−
B
1
(
m
k
)
=
1
2
−
m
k
{\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}
其中m是整數,且
0
<
m
<
k
{\displaystyle 0<m<k}
。在這裏,ζ(s ,q )是赫爾維茨ζ函數 ,
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)}
是一個伯努利多項式 。乘法定理 的一種特殊情況是:
∑
n
=
1
k
ψ
(
n
k
)
=
−
k
(
γ
+
log
k
)
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}
一個推廣為:
∑
p
=
0
q
−
1
ψ
(
a
+
p
q
)
=
q
[
ψ
(
q
a
)
−
ln
(
q
)
]
,
{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi \left(a+{\frac {p}{q}}\right)=q[\psi (qa)-\ln(q)],}
其中假設了q 是自然數,而1-qa 則不是。
高斯雙伽瑪定理
對於正整數
m
{\displaystyle m\,}
和
k
{\displaystyle k\,}
(
m
<
k
)
{\displaystyle \left(m<k\right)\,}
,雙伽瑪函數可以用初等函數 來表示:
ψ
(
m
k
)
=
−
γ
−
ln
(
2
k
)
−
π
2
cot
(
m
π
k
)
+
2
∑
n
=
1
⌊
k
−
1
2
⌋
cos
(
2
π
n
m
k
)
ln
sin
(
n
π
k
)
{\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {k-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)}
特殊值
雙伽瑪函數有以下的特殊值:
ψ
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}
ψ
(
1
2
)
=
−
2
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }
ψ
(
1
3
)
=
−
π
2
3
−
3
2
ln
3
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }
ψ
(
1
4
)
=
−
π
2
−
3
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma }
ψ
(
1
6
)
=
−
π
2
3
−
2
ln
2
−
3
2
ln
3
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma }
ψ
(
1
8
)
=
−
π
2
−
4
ln
2
−
2
2
[
π
+
ln
(
3
+
2
2
)
]
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left[\pi +\ln(3+2{\sqrt {2}})\right]-\gamma }
ψ
(
3
4
)
=
π
2
−
3
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }
參見
參考文獻