自伴算子
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在數學、尤其是泛函分析中,向量空間 上的自伴算子是一類特殊的線性算子(自同態),其伴隨算子是其自身。根據不同的需要,可以討論 為拓撲向量空間、賦範向量空間、巴拿赫空間乃至希爾伯特空間的情況,使得伴隨算子、自伴算子可以具有更豐富的性質,一個重要的例子是希爾伯特空間上自伴算子的譜定理。
若 是具有規範正交基的有限維複向量空間,其上自伴算子在該基下的矩陣是埃爾米特矩陣——該矩陣等於自身的共軛轉置。有限維的譜定理表明,對於一個算子 ,總能找到 上的規範正交基使得 在該基下的矩陣是一個對角矩陣,且這些對角元都是實數。
無窮維希爾伯特空間上的自伴算子的譜定理與此類似:一個算子是自伴的,當且僅當其酉等價於一個實值乘法算子。不過,黑林格-特普利茨定理表明了定義於全空間的自伴算子必然是有界的,從而無界算子至多只能定義在全空間的一個稠密子空間上,故對於無界算子須對定義域的問題多加注意。定義域的問題造成了對稱算子和自伴算子的區分,而這區分對於譜定理等結論而言是至關重要的。
自伴算子在量子力學中也有重要地位。在量子力學公理的狄拉克-馮紐曼表述(英語:Dirac–von Neumann axioms)中,位置、動量、角動量和自旋等物理可觀測量是由希爾伯特空間上的自伴算子表示。在哈密頓算子的譜(能階)具有重要的物理意義的同時,哈密頓算子中的動能項通常由導數算子構成,而無窮維空間中的導數算子是典型的無界算子。