單模

在抽象代數中，若一個環 ${\displaystyle A}$ 上的模 ${\displaystyle M}$ 其子群只有 ${\displaystyle \{0\}}$ 及自身，則稱 ${\displaystyle M}$ 為單模。換言之，環 ${\displaystyle A}$ 上的單模是 ${\displaystyle A}$-模範疇中的單對象。單模又稱不可約模。

例子

• 當 ${\displaystyle A}$ 為除環時，其上的單模不外是一維的 ${\displaystyle A}$-向量空間。
• 若 ${\displaystyle I}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的左理想，則 ${\displaystyle A/I}$ 為單 ${\displaystyle A}$-模當且僅當 ${\displaystyle I}$ 是極大左理想；右理想的情形亦同。

性質

• 單模即長度為一的。
• 單模是不可分解的：它無法寫成兩個非零子模的直和，但是反之則不然。
• 一般而言，模不一定有單子模。例如 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的每個子模都同構於 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，故無單子模。
• 若 ${\displaystyle f:M\to N}$ 是單 ${\displaystyle A}$-模之間的同態，則或者 ${\displaystyle f}$ 是同構，或者 ${\displaystyle f=0}$。由此可證任一單模 ${\displaystyle M}$ 的自同態環 ${\displaystyle \mathrm {End} _{A}(M)}$ 是除環。

參見

• 半單模
• 單群