單位階躍函數維基百科,自由的 encyclopedia 單位階躍函數,又稱黑維塞階躍函數,通常用 H 或 θ 表記,有時也會用 u、1 或 𝟙 表記,是一個由奧利弗·亥維賽提出的階躍函數,參數為負時值為0,參數為正時值為1。 此條目可參照英語維基百科相應條目來擴充。 (2021年5月25日) 分段函數形式的定義如下: H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 , n ≥ 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}} 另一種定義為: H ( x ) = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0 {\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}} 或 H ( x ) = 1 2 ( 1 + sgn ( x ) ) {\displaystyle H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)} 它是個不連續函數,其微分是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分佈函數。 事實上, x = 0 {\displaystyle x=0} 的值在函數應用上並不重要,可以任意取。 連續函數逼近 H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 ( 1 + tanh k x ) = lim k → ∞ 1 1 + e − 2 k x {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}} 有許多可以以解析方式近似的函數[1],以下是二個例子: H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 + 1 π arctan ( k x ) {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\ } H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 + 1 2 erf ( k x ) {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\ } 積分表示 H ( x ) = lim ε → 0 + − 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ + i ε e − i x τ d τ = lim ε → 0 + 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ − i ε e i x τ d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}} 參見 狄拉克δ函數 數學函數列表 拉普拉斯變換 負數 矩形函數 符號函數 階梯響應 參考資料 [1]Weisstein, Eric W. (編). Heaviside Step Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
單位階躍函數,又稱黑維塞階躍函數,通常用 H 或 θ 表記,有時也會用 u、1 或 𝟙 表記,是一個由奧利弗·亥維賽提出的階躍函數,參數為負時值為0,參數為正時值為1。 此條目可參照英語維基百科相應條目來擴充。 (2021年5月25日) 分段函數形式的定義如下: H [ n ] = { 0 , n < 0 , 1 , n ≥ 0 , {\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}} 另一種定義為: H ( x ) = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0 {\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}} 或 H ( x ) = 1 2 ( 1 + sgn ( x ) ) {\displaystyle H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)} 它是個不連續函數,其微分是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數的累積分佈函數。 事實上, x = 0 {\displaystyle x=0} 的值在函數應用上並不重要,可以任意取。 連續函數逼近 H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 ( 1 + tanh k x ) = lim k → ∞ 1 1 + e − 2 k x {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}} 有許多可以以解析方式近似的函數[1],以下是二個例子: H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 + 1 π arctan ( k x ) {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\ } H ( x ) = lim k → ∞ 1 2 + 1 2 erf ( k x ) {\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\ } 積分表示 H ( x ) = lim ε → 0 + − 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ + i ε e − i x τ d τ = lim ε → 0 + 1 2 π i ∫ − ∞ ∞ 1 τ − i ε e i x τ d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}} 參見 狄拉克δ函數 數學函數列表 拉普拉斯變換 負數 矩形函數 符號函數 階梯響應 參考資料 [1]Weisstein, Eric W. (編). Heaviside Step Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).