微分

提示：此條目頁的主題不是微分學。

函數的微分（英語：Differential of a function）是指對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

微分在數學中的定義：由${\displaystyle y}$是${\displaystyle x}$的函數(${\displaystyle y=f(x)}$)。從簡單的平面直角坐標系來看，自變量${\displaystyle x}$的變化量趨近於0時(${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$)，因變量${\displaystyle y}$的變化量也趨近於0，但${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的變化量都趨近於0。當${\displaystyle x}$有極小的變化量時，這稱為${\displaystyle x}$的微分。

當某些函數${\displaystyle \textstyle f}$的自變量${\displaystyle \textstyle x}$有一個微小的改變${\displaystyle \textstyle h}$時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量${\displaystyle \textstyle h}$，可以表示成${\displaystyle \textstyle h}$和一個與${\displaystyle \textstyle h}$無關，只與函數${\displaystyle \textstyle f}$及${\displaystyle \textstyle x}$有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在${\displaystyle \textstyle h}$上的值。

另一部分是比${\displaystyle \textstyle h}$更高階的無窮小，也就是說除以${\displaystyle \textstyle h}$後仍然會趨於零。當改變量${\displaystyle \textstyle h}$很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在${\displaystyle \textstyle x}$處的微分，記作${\displaystyle \displaystyle f'(x)h}$或${\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)}$。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量${\displaystyle \textstyle h}$映射到變化量的線性部分的線性映射${\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定義

函數在一點的微分。其中紅線部分是微分量${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，而${\displaystyle {\textrm {d}}y}$加上灰線部分後是實際的改變量${\displaystyle \Delta y}$

設函數${\displaystyle y=f(x)}$在某區間${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內有定義。對於${\displaystyle {\mathcal {I}}}$內一點${\displaystyle x_{0}}$，當${\displaystyle x_{0}}$變動到附近的${\displaystyle x_{0}+\Delta x}$（也在此區間內）時，如果函數的增量${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$可表示為 ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}$（其中${\displaystyle A}$是不依賴於${\displaystyle \Delta x}$的常數），而${\displaystyle o(\Delta x)}$是比${\displaystyle \Delta x}$高階的無窮小，那麼稱函數${\displaystyle f(x)}$在點${\displaystyle x_{0}}$是可微的，且${\displaystyle A\Delta x}$稱作函數在點${\displaystyle x_{0}}$相應於自變量增量${\displaystyle \Delta x}$的微分，記作${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}$，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是${\displaystyle \Delta y}$的線性主部。^[1]:141

通常把自變量${\displaystyle x}$的增量${\displaystyle \Delta x}$稱為自變量的微分，記作${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}$。

和導數的關係

微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念^[1]:141。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。於是函數${\displaystyle y=f(x)}$的微分又可記作${\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}$^[2]。

幾何意義

設${\displaystyle \Delta x}$是曲線${\displaystyle y=f(x)}$上的點${\displaystyle P}$在橫坐標上的增量，${\displaystyle \Delta y}$是曲線在點${\displaystyle P}$對應${\displaystyle \Delta x}$在縱坐標上的增量，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是曲線在點${\displaystyle P}$的切線對應${\displaystyle \Delta x}$在縱坐標上的增量。當${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$很小時，${\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}$比${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$要小得多(高階無窮小)，因此在點${\displaystyle P}$附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子

設有函數${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$，考慮它從某一點${\displaystyle x}$變到${\displaystyle x+{\textrm {d}}x}$。這時，函數的改變量${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}$等於：

${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}$

${\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}$

其中的線性主部：${\displaystyle Adx=2xdx}$，高階無窮小是${\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}$。 因此函數${\displaystyle \textstyle f}$在點${\displaystyle \textstyle x}$處的微分是${\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}$。函數的微分與自變量的微分之商${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}$，等於函數的導數。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}$，尤其${\displaystyle y=ax^{n}}$

${\displaystyle =nax^{(n-1)}}$

以下有一例子： 當方程式為${\displaystyle y=2x^{2}}$時，就會有以下的微分過程。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}$

${\displaystyle =4x}$

微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$可微，那麼：

• ${\displaystyle \mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v}$
• ${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$
• ${\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}$
• 若函數${\displaystyle y(u)}$可導，那麼${\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}$^[1]:139

極值

主條目：極值

多元函數微分

主條目：全微分

當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數隻對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定義

設${\displaystyle f}$是從歐幾里得空間Rⁿ（或者任意一個內積空間）中的一個開集${\displaystyle \Omega }$射到R^m的一個函數。對於${\displaystyle \Omega }$中的一點${\displaystyle x}$及其在${\displaystyle \Omega }$中的鄰域${\displaystyle \Lambda }$中的點${\displaystyle x+h}$。如果存在線性映射${\displaystyle A}$使得對任意這樣的${\displaystyle x+h}$,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}$

那麼稱函數${\displaystyle f}$在點${\displaystyle x}$處可微。線性映射${\displaystyle A}$叫做${\displaystyle f}$在點${\displaystyle x}$處的微分，記作${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$。

如果${\displaystyle f}$在點${\displaystyle x}$處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。

當函數在某個區域的每一點${\displaystyle x}$都有微分${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$時，可以考慮將${\displaystyle x}$映射到${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$的函數：

${\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}}$

這個函數一般稱為微分函數^[3]。

性質

• 如果${\displaystyle f}$是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。
• 在Rⁿ（或定義了一組標準基的內積空間）裏，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

設${\displaystyle f}$是從Rⁿ射到R^m的函數，${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}$，那麼：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$。

具體來說，對於一個改變量：${\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}$，微分值：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}}$

• 可微的必要條件：如果函數${\displaystyle f}$在一點${\displaystyle x_{0}}$處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都存在，但反之不真^[4]:76。
• 可微的充分條件：如果函數${\displaystyle f}$在一點${\displaystyle x_{0}}$的雅克比矩陣的每一個元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都在${\displaystyle x_{0}}$連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真^[4]:77。

例子

函數${\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}$是一個從${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的函數。它在某一點${\displaystyle (x,y)}$的雅可比矩陣為：

${\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}$

微分為：${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}$，也就是：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}}$

微分與微分形式

主條目：微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點${\displaystyle x}$給出一個近似描述函數性質的線性映射${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$，而微分形式對區域${\displaystyle \mathbf {D} }$內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式：${\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} }$。在坐標記法下，可以寫成：

${\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$

其中的${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}}$是${\displaystyle i}$-射影算子，也就是說將一個向量${\displaystyle v}$射到它的第${\displaystyle i}$個分量${\displaystyle v^{i}}$的映射。而${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$是滿足：

${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}}$

的k-形式。

特別地，當${\displaystyle f}$是一個從Rⁿ射到R 的函數時，可以將${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$寫作：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}}$

正是上面公式的一個特例^[5]。

參見

• 微分學
• 微積分
• 導數
• 積分
• 偏導數
• 外微分
• 泰勒公式

參考來源

1. 歐陽光中 姚允龍 周淵 編. 《数学分析（上册）》. 復旦大學出版社. 2003. ISBN 7309035704.
2. 梁子傑. 「可微」還是「可導」？ (PDF). 數學教育.^{[永久失效連結]}
3. 微分函数. 逢甲大學網路教學實驗室. [2009-12-24]. （原始內容存檔於2010-05-07）.
4. 徐森林,薛春華. 《数学分析(第二册)》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0.
5. B.A.卓里奇 著，蔣鐸、錢佩玲、周美珂、鄺榮雨 譯. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1.第175-183頁.

• 齊民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.