切薩羅求和

切薩羅求和（英語：Cesàro summation）也稱為切薩羅平均（Cesàro mean）^[1][2]或切薩羅極限（Cesàro limit）^[3]，是由意大利的數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。

切薩羅求和可視為是一種特殊的矩陣可求和法（英語：Matrix summability method）。

切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的Eilenberg–Mazur swindle（英語：Eilenberg–Mazur swindle）有關。有關切薩羅可求和級數，常被提到的是格蘭迪級數，依照切薩羅求和可得其「和」為1/2^。

定義

令{a_n}為一數列，且令

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$

為數列前k項的部份和：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

若以下的條件成立，則此數列{a_n}的切薩羅和存在，且其值為α。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha }$.

格蘭迪級數的例子

主條目：格蘭迪級數

令 a_n = (-1)ⁿ⁺¹, n ≥ 1。因此{a_n} 為以下的數列：

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$。

其部份和組成的數列 {s_n} 為

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }$；

此數列為格蘭迪級數，不會收斂。

而數列 {(s₁ + ... + s_n)/n} 的各項分別為

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }$；

當n趨近於無限大，切薩羅和為如下極限：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}$。

因此，數列 {a_n} 的切薩羅和為 1/2。

推廣

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C, n)，其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C, n) 如下所述： 對於級數Σa_n, 定義

${\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}$

(上面的指數不表示指數)且定義 E_n^α 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 A_n^α。 則 Σa_n 的 (C, α) 和則為

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

若以上數值存在。^[4]

這種描述代表初始求和方法的 α 次迭代應用。

相關條目

• 發散級數
• 阿貝爾求和公式
• Abel–Plana formula（英語：Abel–Plana formula）
• Abelian and tauberian theorems（英語：Abelian and tauberian theorems）
• 幾乎收斂序列
• 博雷爾求和
• 切薩羅平均（英語：Cesàro mean）
• 博雷爾求和
• 尤拉求和（英語：Euler summation）
• Euler–Boole summation（英語：Euler–Boole summation）
• Fejér定理（英語：Fejér's theorem）
• 赫爾德求和
• Lambert求和（英語：Lambert summation）
• 佩龍公式
• 拉馬努金求和
• 里斯平均（英語：Riesz mean）
• Silverman–Toeplitz定理（英語：Silverman–Toeplitz theorem）
• 斯托爾茲-切薩羅定理
• 柯西極限定理（英語：Cauchy's limit theorem）
• 分部求和法

註解

1. Hardy, G. H. Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. 1992. ISBN 978-0-8218-2649-2.
2. Katznelson, Yitzhak. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover Publications. 1976. ISBN 978-0-486-63331-2.
3. Henk C. Tijms. A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. 2003: 439. ISBN 978-0-471-49880-3.
4. Shawyer and Watson pp.16-17

參考文獻

• Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.