在抽象代數中,一個系數體為
的多項式
的分裂體(根體)是
的「最小」的一個擴張體
,使得在其中
可以被分解為一次因式
的乘積,其中的
是
中元素。一個
上的多項式並不一定只有一個分裂體,但它所有的分裂體都是同構的:在同構意義上,
上的多項式的分裂體是唯一的。
術語與定義
稱一個系數體為
的多項式
在
的某個擴張體
中分裂,當且僅當這個多項式可以用這個體中的元素來分解(分裂)成最簡單的一次因式的乘積:
![{\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea2c6e2fc71eb4b23f8b6c502e748e7029155ac)
其中的
,
。換句話來說,
的根都在
中。
使得
在其中分裂的擴張體
有很多,譬如對於某個使得
分裂的的
,它任意的擴張體
也都滿足。然而其中「最小」的體在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」體,是指這樣的一個擴張體
:
- 在
里,
,可以分解為一次因式的乘積;
- 在
的任何真子體(不等於自身)里,
都無法如此分解。這樣的擴張體稱為
在
上的分裂體。
例子
如果
是有理數體
,多項式為
那麼其分裂體
可以是在
中添加三次單位根
和2的立方根而得到的擴張體:
。因為這時
可以寫作:
![{\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8e05e0f93737db07630f99a69aa83c66d0726e)
同一個多項式在不同的體上的分裂體不一定相同,比如:
- 多項式
在實數體 R上的分裂體是複數體 C。
- 多項式
在准有限體 GF7上的分裂體是GF72.
多項式
在准有限體 GF7上的分裂體是GF7,因為在其上
已經分解完畢。
性質
給定多項式
,在
上的分裂體
,假設在
里
,分解為
![{\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5303725fefd7b86e89716d2e71e00b77a07fcd9f)
那麼
。
對於體
的一個代數閉體擴張體
和
上的一個多項式
,存在
在
上的唯一的一個分裂體
,使得
。
對於
的一個可分擴張
,
的伽羅瓦閉包是一個分裂體,也是
的包含
的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了
中任意元素
,在
上的極小多項式在
上的分裂體。
參見
參考來源
外部連結