主理想環

在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。

如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。

例子

• 整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。
• 域上的（單變元）多項式環是主理想環。
• 高斯整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 是主理想環。
• 艾森斯坦整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ 是主理想環，其中 ω 為任一非 ${\displaystyle 1}$ 的三次單位根。
• 環 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ 非主理想環：可以證明理想 ${\displaystyle (2,{\sqrt {5}})}$ 無法由單個元素生成。