上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或電流）階躍函數下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間^[1]，值可以用相對參考輸入的比率^[2]或是百分比^[3]來表示。在模擬電路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出階躍高度的10%及90%（或0.1及0.9）^[4]。不過，也常會使用其他的值^[5]若是在控制理論中，依照Levine (1996，第158頁)，上昇時間定義為「響應從終值的x%上昇到y%所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間^[6]。依照Orwiler (1969，第22頁)，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間。^[7]，

簡介

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力^[8]。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的調光器（英語：dimming），其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制類比開關（英語：analog switch），較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關^[9]。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有電路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，2.2 RC^[10]。

其他定義

有關上昇時間，也有其他和Levine (1996，第158頁)不同的定義，偶爾會出現：^[11]。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義^[12]。另一種定義是由Elmore (1948，第57頁)引入^[13]，用到概率論及統計學的概念。考慮階躍響應 V(t)，重新定義傳播延遲 t_D為一次導數V′(t)的矩，也就是

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.}$

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間t_r

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}}$

典型系統的上昇時間

符號及標示

所有分析用到的符號及假設條列如下：

• 根據Levine （1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)），定義x%為低準位的百分比，y%為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
• t₁是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間，而t₂是輸出到達穩態值y%的時間，兩者單位都是秒。
• t_r是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$

• f_L為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫茲。
• f_H為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫茲。
• h(t)是待分析系統在時域下的衝激響應。
• H(ω)是待分析系統在頻域下的頻率響應。
• 帶寬定義為

${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}\,}$

因為較低的截止頻率f_L往往遠小於較高截止頻率f_H，因此

${\displaystyle BW\cong f_{H}\,}$

• 所有分析的系統，其頻率響應都延伸到0（低通系統），因此

${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$。

• 為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的電路，所有信號都假設是電壓：輸入是V₀伏特的階躍函數，因此

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$

• ζ是特定二階微分方程的阻尼比，ω₀則是自然頻率。

計算上昇時間的簡單範例

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

其中σ > 0為常數^[14]，和高截止頻率有以下的關係：

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器（英語：causal filter）實現^[15]。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通濾波器級聯連結而得，其精度會隨着個數增加而變好^[16]。對應的衝激響應可以用頻率響應的反傅里葉變換計算而得。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

直接代入階躍響應的定義

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

利用誤差函數的定義，可以找到t =  - t₁ = t₂的數值，因為t_r = t₂ - t₁ = 2t,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

因此

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

一階低通RC電路

針對一階低通RC電路^[18]，10%至90%的上昇時間和網絡時間常數τ = RC成正比：

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau \,}$

比例常數可以用輸入信號為V₀的階躍函數時，系統的階躍反應而得：

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

求解時間

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

最後可得

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

而t₁及t₂滿足以下條件

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

求解方程可得t₁和t₂的解析式

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}\,}$

上昇時間和時間常數成正比^[19]：

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

另外，根據

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

則

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

因為上截止頻率等於頻寬

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，t_r會變成：

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

一階低通LR電路

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ = L⁄R成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

阻尼二階系統

根據Levine (1996，第158頁)，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間^[6]。二階欠阻尼系統的上昇時間如下^[20]：

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函數近似如下：

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,}$

中ζ是阻尼比，ω₀是電路的自然頻率。

級聯模組的上昇時間

考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為t_ri, i = 1,...,n，其階躍響應沒有過沖，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為t_rS.^[21]。其輸出的上昇時間t_r0為

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

依照Valley & Wallman (1948，第77–78頁)，此結果可以用中心極限定理來說明，已由Wallman (1950)證明^[22][23]。此問題的詳細分析可以參考Petitt & McWhorter (1961，§4–9, pp. 107–115),^[24]，他指出Elmore (1948)是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人^[25]。

相關條目

• 下降時間
• 頻率響應
• 衝激響應
• 階躍響應
• 安定時間

腳註

1. rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], （原始內容存檔於2016-06-24）
2. 例如(Cherry & Hooper 1968，p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Nise 2011，第167頁).
3. 例如Levine (1996，第158頁), (Ogata 2010，第170頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).
4. 例如(Cherry & Hooper 1968，p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965，第44頁) and (Valley & Wallman 1948，第72頁).
5. 例如 Valley & Wallman (1948，p. 72, footnote 1)有提到：「有些應用會量測5%到95%的上昇時間，或是1%到99%的上昇時間。」
6. 精確來說，Levine (1996，第158頁)有提到：「上昇時間是從終值的x%上昇到y%需要的時間。若是過阻尼控制系統，多半會使用0%至100%的上昇時間，若是欠阻尼系統 (...) 多半會使用10%至90%的上昇時間。」。不過過阻尼二階控制系統使用0%至100%的上昇時間是不正確的，因為此定義下的上昇時間會是無限大。類似RC電路上昇時間的例子。在(Levine 2011，第9-3 (313)頁)的第二版也有類似的文字。
7. 仍是依照Orwiler (1969，第22頁)的定義
8. 依照Valley & Wallman (1948，第72頁)「若要複製階躍函數或是方波的上昇緣，最重要的參數就是上昇時間，一般是量測10%至90%之間的時間，另一個則是過沖。」，依照Cherry & Hooper (1969，第306頁) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCherryHooper1969 (幫助)「放大器在方波響應下，最重要的二個參數是上昇時間以及傾斜百分比。」
9. 參考(Orwiler 1969，第27–29頁)及級聯模組的上昇時間章節
10. 參考(Valley & Wallman 1948，第73頁)、(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)中的範例，或是一階低通RC電路章節
11. 可參考 (Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，第56頁)。
12. 參考(Valley & Wallman 1948，p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948，p. 56 and p. 57, fig. 2a).
13. 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109–111頁)
14. 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁)及(Petitt & McWhorter 1961，第122頁).
15. 根據Paley-Wiener準則（英語：Paley-Wiener criterion），像是(Valley & Wallman 1948，p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961，第122頁)也簡單說明此事實
16. 參考(Valley & Wallman 1948，第724頁), (Petitt & McWhorter 1961，p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969，第30頁).
17. Compare with (Orwiler 1969，第30頁).
18. 也稱為「單極點濾波器」，例如(Cherry & Hooper 1969，第639頁) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCherryHooper1969 (幫助)
19. 比較(Valley & Wallman 1948，p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969，p. 639, formula (13.3)) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCherryHooper1969 (幫助)或(Orwiler 1969，p. 22 and p. 30)的內容
20. See (Ogata 2010，第171頁).
21. "S表示「來源」，可能是電流源或電壓源
22. 這份一頁的論文沒有任何計算。Henry Wallman（英語：Henry Wallman）列出了一個他稱為詞典的表，將電子工程及概率論的概念並排。關鍵是使用拉普拉斯變換。接着他提到，依照詞典中這些概念的結果。計多級聯模組的階躍響應可以對應中心極限定理，並且提到：「這是重要的實務結果，前提是電路沒有過衝，其反應時間會隨着級聯個數而增加，約和個數的均方根成正比。」(Wallman 1950，第91頁).
23. 也可以參考(Cherry & Hooper 1969，第656頁) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCherryHooper1969 (幫助)及(Orwiler 1969，第27–28頁).
24. 由(Cherry & Hooper 1969，第656頁) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCherryHooper1969 (幫助)引用
25. 參考(Petitt & McWhorter 1961，第109頁).

參考資料

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• Levine, William S., The Control Handbook, 博卡拉頓: CRC Press: xvi+1548, 1996, ISBN 0-8493-8570-9.
• Levine, William S., The Control Handbook: Control Systems Fundamentals 2nd, 博卡拉頓: CRC Press: xx+766, 2011 [1996], ISBN 978-1-4200-7362-1.
• Millman, Jacob; Taub, Herbert, Pulse, digital and switching waveforms, 紐約–聖路易斯–三藩市–多倫多–倫敦–悉尼: McGraw-Hill: xiv+958, 1965.
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