重整化群

在理論物理中，重整化群（renormalization group，簡稱RG）是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。

標度上的變化稱為「標度變換（英語：Scale transformation）」。重整化群與「標度不變性（英語：Scale invariant）」和「共形不變性（英語：Conformal invariant）」的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

方程

基本想法就是耦合常數依賴長度縮放或能量標度，重整化群幫助陳述耦合數量和能量標度的關係。默里·蓋爾曼和Francis E. Low於1954年提出了下面量子電動力學的重整化群方程：^[1]

g(μ) = G⁻¹( (μ/M)^d G(g(M)) ) ,

g(κ) = G⁻¹( (κ/μ)^d G(g(μ)) ) = G⁻¹( (κ/M)^d G(g(M)) )

費恩曼、朱利安·施溫格、朝永振一郎在1965年贏了物理學的諾貝爾獎，因為他們都把重整化以及正規化等想法應用於量子電動力學。^[2][3][4]

利奧·卡達諾夫在1966年推出塊自旋的概念來解釋重整化。^[5]

然後肯尼斯·威爾森使用重整化群解決近藤問題，^[6] 以及描述臨界現象和第二相變。^[7][8][9] 他1982年贏了諾貝爾獎。^[10]

塊自旋

這一節介紹重整化群的一個簡單圖像：塊自旋重整化群。這是由利奧·卡達諾夫在1966年推導出來的。^[5]

首先考慮一個固體，如圖所示，原子以二維正方形形式排列。假設每一個原子只與它最鄰近的原子有相互作用，且這一系統的溫度為${\displaystyle T}$，相互作用的強度使用耦合常數${\displaystyle J}$來描述。這一物理系統可以用一個特定的式子來表達，記為${\displaystyle H(T,J)}$。

現在，我們把這個系統分為有着${\displaystyle 2\times 2}$個方塊的塊區，進而用塊變量來描述這個系統，這些變量可以是塊內變量的平均數。我們假設這些塊變量可以用相同的方程來描述，只不過參數${\displaystyle T}$和${\displaystyle J}$不同（事實上這一假設當然並不成立，但在實際應用中這一近似已足夠好）。

原本這個系統內有較多的原子，現在，在問題重整化後，只有四分之一個原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次後得到${\displaystyle H(T'',J'')}$，這次只需要計算最初的十六分之一個原子。當然，最好是能夠迭代直到只剩下一個最大的塊區。一般來說，當迭代很多次後，重整化群變換將趨向於一個不動點上的數。

現在考慮一個具體的例子：鐵磁-順磁相變中的伊辛模型。在這個模型里，耦合常數${\displaystyle J}$代表鄰近電子自旋平行時候的相互作用力。這一模型中有三個不動點：

1. ${\displaystyle T=0}$和${\displaystyle J\to \infty }$。從宏觀上來看，溫度對系統的影響變得可以忽略不計。這時系統處於鐵磁相。
2. ${\displaystyle T\to \infty }$和${\displaystyle J\to 0}$。與第1種情形正好相反，溫度對系統的影響佔據了主導，系統在宏觀上變得無序。
3. ${\displaystyle T=T_{c}}$且${\displaystyle J=J_{c}}$。在這一特定的狀態上，改變系統的標度不改變系統的物理性質，因為系統處於分形態上。這對應居里相變，這個點稱為臨界點。

基本理論

假設有一個可以用狀態變量${\displaystyle \{s_{i}\}}$和一組耦合常數${\displaystyle \{J_{k}\}}$表示的函數${\displaystyle Z}$。這個函數必須能夠用來描述整個物理系統，比如某個配分函數、作用量、哈密頓量等等。

現在我們考慮狀態變量上的塊變換${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$，${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$所包含的數目必須小於${\displaystyle s_{i}}$。接下來我們可以把函數${\displaystyle Z}$只用${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$來表示。如果${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$也是可以實現的，那麼就說這個物理系統是可重整化的。

最基本的物理理論都是可以重整化的，比如量子電動力學，量子色動力學，電弱相互作用等，但是引力是無法重整化的。此外，凝聚態物理中的大部分理論也是可以被重整化的，比如超導，超流。

變量的變換可以由一個β函數實現：${\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$。這一函數可以在${\displaystyle J}$空間上導出流圖。系統的宏觀狀態由流圖上的不動點給出。

由於重整化群變換是有損的，這一變換不可逆，所以這一變換實際上是數學上的半群。

舉例計算

參見Phi fourth theory（英語：Quartic interaction）（四次交互論； ${\displaystyle \phi ^{4}}$論）。歐幾里得空間的拉氏量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.}$

配分函數或泛函積分是：

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}$

通過重正化以及正規化 ${\displaystyle \Lambda }$： ${\displaystyle [D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)}$

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].}$

若 ${\displaystyle 0<b<1}$：

${\displaystyle {\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}$${\displaystyle \phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}}$

所以

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].}$

介紹 ${\displaystyle \phi {\hat {\phi }}}$ ：

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].}$

所以新的拉氏量是${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}$以及

${\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )}$ 不同於${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )}$，因為${\displaystyle \lambda ,\phi }$ 改變了。 上面的 Z 陳述一個effective field theory（英語：effective field theory）。若 ${\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda }$.

${\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]}$

假設

${\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi }$${\displaystyle m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}}$${\displaystyle \lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}}$${\displaystyle B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}}$${\displaystyle C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}}$

所以

${\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]}$

耦合常數的變量為 ${\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda }$。耦合常數的演進是動力系統的臨界點：

${\displaystyle m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}}$

三種耦合

• 無關耦合（irrelevant）：耦合減少了
• 相關耦合（relevant）：耦合增加了
• 邊緣耦合（marginal）：耦合不變

若 ${\displaystyle d=4}$，因為${\displaystyle b<1}$所以B和C是無關的，m是相關的，並且${\displaystyle \lambda }$是邊緣的。

而且${\displaystyle \phi ^{4}}$論是可重整化的。

動力系統的重整化

米切爾·費根鮑姆使用重整化群計算費根鮑姆常數，而且將重整化應用於分岔理論。^[11]

阿圖爾·阿維拉（巴西數學家）也將重整化群應用於動力系統、費根鮑姆常數等^[12][13]

其他應用包括：

• 混沌理論
• 湍流
• 分形
• 隨機微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation（英語：Kardar–Parisi–Zhang equation）^[14]、參見馬丁·海雷爾的研究^[15][16]
• 滲流理論

等

參見

• 重整化
• 密度矩陣重整化群
• 臨界現象
• 普遍性

擴展閱讀

入門教程與歷史回顧

• S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. 69, 2863. 有人說這是最成功的variational RG辦法
• N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
• D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. arXiv.org:hep-th/9909024 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
• B. Delamotte (2004): A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group. American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
• K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Shirkov, D. V. Fifty years of the renormalization group. CERN Courier. 2001-08-31 [2008-11-12]. （原始內容存檔於2008-12-03）.

相關著作

• T. D. Lee 李政道; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是總結
• L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
• Vasil'ev, A. N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
• Zinn-Justin, Jean; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
• The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ⁴-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.

參考文獻

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