β函數 (物理學)

在理論物理量子場論中β函數，β(g)描述的是在重正化群下，理論中耦合常數g隨能量標度μ的變化，定義：

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}~,}$

例子

量子電動力學

量子電動力學 (QED)中β函數一圈圖表示：

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

或

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

這裏精細結構常數α = e²/4π .

量子色動力學

量子色動力學 (QCD)中β函數還與夸克的味數${\displaystyle n_{f}}$有關其一圈圖表示：

• ${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

或

• ${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

這裏 α_s = ${\displaystyle {\frac {g^{2}}{4\pi }}}$ .

如果 n_f ≤ 16則β函數為負數，理論存在漸近自由，這一現象在1973年，被弗朗克·韋爾切克和戴維·格婁斯^[1]，與休·波利策^[2]兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎^[3]。

SU(N)非阿貝爾規範理論

${\displaystyle \beta (\alpha )=\mu ^{2}{\frac {\partial }{\partial \mu ^{2}}}{\frac {\alpha (\mu ^{2})}{4\pi }}=-\left[\beta _{0}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{2}+\beta _{1}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{3}+\beta _{2}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{4}+\cdots \right]}$

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {11}{3}}C_{A}-{\frac {4}{3}}T_{F}n_{f}}$

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {34}{3}}C_{A}^{2}-{\frac {20}{3}}C_{A}T_{F}n_{f}-4C_{F}T_{F}n_{f}}$

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {2857}{54}}C_{A}^{3}-{\frac {1415}{27}}C_{A}^{2}T_{F}n_{f}+{\frac {158}{27}}C_{A}T_{F}^{2}n_{f}^{2}+{\frac {44}{9}}C_{F}T_{F}^{2}n_{f}^{2}-{\frac {205}{9}}C_{F}C_{A}T_{F}n_{f}+2C_{F}^{2}T_{F}n_{f}}$

其中： ${\displaystyle T_{F}={\frac {1}{2}},C_{F}={\frac {N^{2}-1}{2N}}}$和 ${\displaystyle C_{A}=N}$