武卡謝維奇邏輯

在數學中，武卡謝維奇邏輯（Łukasiewicz logic）是非經典、多值邏輯。它最初由揚·武卡謝維奇定義為叫做「三價邏輯」的三值邏輯^[1]；它後來被推廣為 n 值(對於所有有限 n)和無限多值變體，命題和一階都有^[2]。它屬於t-規範模糊邏輯^[3] 和亞結構邏輯^[4]類。

實數值語義

無窮多值武卡謝維奇邏輯是實數值邏輯，其中來自命題演算的句子被指派上在 0 到 1 之間的任意精度的真值。求值有如下遞歸定義:

• ${\displaystyle w(\theta \rightarrow \phi )=F_{\rightarrow }(\theta ,\phi )}$
• ${\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(\theta )}$
• ${\displaystyle w(\theta \wedge \phi )=F_{\wedge }(\theta ,\phi )}$
• ${\displaystyle w(\theta \vee \phi )=F_{\vee }(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle F_{\wedge }}$, ${\displaystyle F_{\vee }}$, ${\displaystyle F_{\neg }}$ 和 ${\displaystyle F_{\rightarrow }}$ 的值明確給出自:

• ${\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=Max\{0,x+y-1\}}$
• ${\displaystyle F_{\vee }(x,y)=Min\{1,x+y\}}$
• ${\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}$
• ${\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=Min\{1,1-x+y\}}$

求值的性質

在這個定義下，求值滿足如下條件:

${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 滿足

• ${\displaystyle F_{\wedge }(0,0)=F_{\wedge }(0,1)=F_{\wedge }(1,0)=0}$ 和 ${\displaystyle F_{\wedge }(1,1)=1}$。
• ${\displaystyle F_{\vee }(0,0)=0}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }(0,1)=F_{\vee }(1,0)=F_{\vee }(1,1)=1}$。

• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 是連續性的。
• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 在每個構成上是嚴格遞增的。
• ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 在如下意義上是結合性的: ${\displaystyle F(a,F(b,c))=F(F(a,b),c)}$ 對於每個 ${\displaystyle F\in \{F_{\wedge },F_{\vee }\}}$。

所以 ${\displaystyle F_{\wedge }}$ 和 ${\displaystyle F_{\vee }}$ 都是連續t-規範的。

• ${\displaystyle F_{\neg }(0)=1}$ 和 ${\displaystyle F_{\neg }(1)=0}$。
• ${\displaystyle F_{\neg }}$ 是連續的。

引用

1. Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). Ruch filozoficzny 5:170–171.
2. Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Journal of Symbolic Logic 28:77–86.
3. Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
4. Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices — an introduction". In F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20: 177–212.