偽球面

偽球面（英語：pseudosphere，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑${\displaystyle R}$的偽球面，是${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中每點高斯曲率均為${\displaystyle \textstyle -1/R^{2}}$的平面。偽球面這個名稱是類比半徑${\displaystyle R}$的球面（曲率${\displaystyle \textstyle 1/R^{2}}$的平面），由貝爾特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。^[1][2][3] 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。

旋轉跟蹤曲面（Tractricoid）

定義

對於${\displaystyle xOz}$平面上的曳物線，其參數方程為${\displaystyle (x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty }$.

當其繞z軸旋轉一圈時，根據旋轉曲面的一般參數方程^[4]，可得到曲面標準參數方程：

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ),\\z=\mathrm {sech} (t).\end{matrix}}\right.}$ 其中 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq t<\infty }$.

該方程即為曳物面方程，又稱偽球面方程。

性質

偽球面是一個奇異空間 (赤道上的點為奇點) 。但在奇點外，它具有恆定的負高斯曲率，因此局部等距於雙曲面。

「偽球」這個名字的產生是因為它是一個有恆定負高斯曲率的二維曲面，和一個球有恆定正高斯曲率恰恰相反。就像球體在每一點上都有一個正曲率的球面幾何一樣，偽球在除奇點每一點上都有一個負曲率的雙曲幾何。

早在1693年，惠更斯(Christiaan Huygens)就發現儘管其旋轉後的範圍是無限的, 但偽球的體積和表面積是有限的。對於給定的偽半徑 R，偽球的表面積是${\displaystyle 4\pi R^{2}}$，和同半徑·球面相同。

參考資料

1. Beltrami, Eugenio. Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. 1868, 6: 248–312 （意大利語）.
2. Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche [Mathematical Works] 1. : 374–405. ISBN 1-4181-8434-9 （意大利語）.
3. Beltrami, Eugenio. Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure. 1869, 6: 251–288 [2018-08-08]. （原始內容存檔於2016-02-02） （法語）.
4. 梅, 向明. 微分几何 第四版. 高等教育出版社. 2008. ISBN 9787040235722.