逆威沙特分佈

逆威沙特分佈，也叫反威沙特分佈作是統計學中出現的一類概率分佈函數，定義在實值的正定矩陣上。在貝氏統計中，逆威沙特分佈會用作多變量正態分佈協方差矩陣的共軛先驗分佈。 如果一個正定矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ 的逆矩陣 ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}}$ 遵從威沙特分佈 ${\displaystyle W({\mathbf {\Psi } }^{-1},m)}$ 的話，那麼就說矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ 遵從逆威沙特分佈：

${\displaystyle \mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}$

逆威沙特分佈

參數	${\displaystyle m>p-1\!}$ 自由度 (實數) ${\displaystyle \mathbf {\Psi } >0\,}$ 尺度矩陣 (正定)
值域	${\displaystyle \mathbf {W} \!}$是正定的
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}$
期望值	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}}$
眾數	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{m+p+1}}}$[1]:406

概率密度函數

逆威沙特分佈的概率密度函數是：

${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}},}$

其中 ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ 都是 ${\displaystyle p\times p}$ 的正定矩陣，而Γ_p(·) 則是多變量伽馬分佈（英語：Multivariate gamma function）。函數

${\displaystyle \mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )}$

指的是跡函數。

相關定理

威沙特分佈矩陣之逆的概率分佈

設矩陣${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },m)}$ 並且 ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ 是${\displaystyle p\times p}$ 的矩陣，那麼 ${\displaystyle {\mathbf {B} }={\mathbf {A} }^{-1}}$ 遵從逆威沙特分佈：${\displaystyle {\mathbf {B} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},m)}$。它的概率密度函數是：

${\displaystyle p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}}$，而 ${\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}$ 是多變量伽馬分佈^[2]。

威沙特分佈矩陣之逆的邊際與條件分佈

設矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}$ 遵從逆威沙特分佈。並且假設矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ 都有相適合的分塊矩陣表示方式：

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}$

其中子矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}$ 是 ${\displaystyle p_{i}\times p_{j}}$ 的矩陣，那麼會有：

甲）${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ 與 ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}$ 相互獨立，其中 ${\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ 是子矩陣 ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ 在 ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ 中的舒爾補。

乙） ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},m-p_{2})}$;

丙） ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})}$，其中 ${\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}$ 是矩陣正態分佈。

丁）${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},m)}$

共軛分佈

假設要求先驗分布 ${\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } )}}$ 為逆威沙特分佈 ${\displaystyle W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}$ 的協方差矩陣${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$。如果觀測值 ${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$ 是從互相獨立的 p-變量正態分佈 ${\displaystyle N(\mathbf {0} ,{\mathbf {\Sigma } })}$ 的隨機變量得到的，那麼條件分佈 ${\displaystyle {p(\mathbf {\Sigma } |\mathbf {X} )}}$ 遵從的是逆威沙特分佈：${\displaystyle W^{-1}({\mathbf {A} }+{\mathbf {\Psi } },n+m)}$。其中 ${\displaystyle {\mathbf {A} }=\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$ 是樣本協方差矩陣的${\displaystyle n}$倍。

因此，逆威沙特矩陣是多變量正態分佈的共軛先驗分布。

矩相關特性

期望值：^[2]:85

${\displaystyle E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.}$

矩陣 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ 的每一個系數的方差：

${\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi _{ij}^{2}+(m-p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}}$

對角系數的方差是在上式中令 ${\displaystyle i=j}$ 得到，化簡後變成：

${\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.}$

相關分佈

當變量數目減到一個的時候，逆威沙特分佈會變成特例：逆伽馬分佈（英語：Inverse-gamma distribution）。也就是說，當 ${\displaystyle p=1}$、${\displaystyle \alpha =m/2}$、${\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2}$ 以及 ${\displaystyle x=\mathbf {B} }$ 的時候，逆威沙特分佈的概率密度函數是：

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}$

這正是逆伽馬分佈。其中 ${\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}$ 是通常的伽馬函數。

而逆威沙特分佈也有推廣，其中一個是正態逆威沙特分佈（英語：Normal-inverse-Wishart distribution）。

參見

• 威沙特分佈
• 矩陣正態分佈

參考來源

1. A. O'Hagan, and J. J. Forster. Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference 2B 2. Arnold. 2004. ISBN 0-340-80752-0.
2. Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby. Multivariate Analysis. Academic Press. 1979. ISBN 0-12-471250-9.