代數拓撲 中,梅西積 (Massey product)是(Massey 1958 )引入的一種高階上同調運算 ,推廣了上積 。梅西積由美國代數拓撲學家William S. Massey提出。
梅西積是三不互扣環 現象的代數推廣。
令
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\ b,\ c}
為微分分次代數
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的上同調代數
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的元素。若
a
b
=
b
c
=
0
{\displaystyle ab=bc=0}
,則梅西積
⟨
a
,
b
,
c
⟩
{\displaystyle \langle a,b,c\rangle }
是
H
n
(
Γ
)
{\displaystyle H^{n}(\Gamma )}
的子集,其中
n
=
deg
(
a
)
+
deg
(
b
)
+
deg
(
c
)
−
1
{\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}
。
梅西積是通過代數手段定義的:將元素
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\ b,\ c}
提升到
Γ
{\displaystyle \Gamma }
的元素
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,\ v,\ w}
的等價類,取這些元素的梅西積,然後向下推到上同調。這可能產生定義明確的上同調類,也可能不確定。
定義
u
¯
{\displaystyle {\bar {u}}}
為
(
−
1
)
deg
(
u
)
+
1
u
{\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}
。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
中元素u 的上同調類可表為
[
u
]
{\displaystyle [u]}
。3個上同調類的梅西三元積定義為
⟨
[
u
]
,
[
v
]
,
[
w
]
⟩
=
{
[
s
¯
w
+
u
¯
t
]
∣
d
s
=
u
¯
v
,
d
t
=
v
¯
w
}
.
{\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}
3個上同調類的梅西積不是
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的元素,而是
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
元素的集合,可能是空的也可能包含多個元素。若
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
分別有
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,\ j,\ k}
的度數,則梅西積的度數為
i
+
j
+
k
−
1
{\displaystyle i+j+k-1}
,其中的
−
1
{\displaystyle -1}
來自微分
d
{\displaystyle {\rm {d}}}
。
若積
u
v
{\displaystyle uv}
、
v
w
{\displaystyle vw}
都是精確的,則梅西積非空,這時其所有元素都在商群
H
∗
(
Γ
)
/
(
[
u
]
H
∗
(
Γ
)
+
H
∗
(
Γ
)
[
w
]
)
.
{\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}
的同一個元素中。因此,梅西積可看做定義在類三元組上的函數,其中的類在上述商群中取值,使得前兩個類或後兩個類之積為零。
更通俗地說,若兩逐對積
[
u
]
[
v
]
{\displaystyle [u][v]}
、
[
v
]
[
w
]
{\displaystyle [v][w]}
都在同調中為零(
[
u
]
[
v
]
=
[
v
]
[
w
]
=
0
{\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}
),即對某鏈s 、t 有
u
v
=
d
s
{\displaystyle uv=ds}
、
v
w
=
d
t
{\displaystyle vw=dt}
,則三元積
[
u
]
[
v
]
[
w
]
{\displaystyle [u][v][w]}
「為零有兩個原因」:是
s
w
{\displaystyle sw}
、
u
t
{\displaystyle ut}
的邊界(由於
d
(
s
w
)
=
d
s
⋅
w
+
s
⋅
d
w
,
{\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}
且
[
d
w
]
=
0
{\displaystyle [dw]=0}
因為同調的元素是循環)。有界循環s 、t 有不確定性,在移動到同調時變為零;又因為
s
w
{\displaystyle sw}
、
u
t
{\displaystyle ut}
有相同邊界,將它們相減(符號約定是為正確處理分次)會得到上循環(差值的邊界變為零),這樣就得到了良定義的同調元素——這一步類似於用n 維映射/鏈的空同倫/空同調的不確定性來定義第
n
+
1
{\displaystyle n+1}
個同倫/同調群。
從幾何學角度來看,在流形的奇異上同調 中,可按龐加萊對偶 用有界流形與交來解釋積:與上循環對偶的是循環,常表為無界閉流形;與積對偶的是交;與有界積相減對偶的是將兩有界流形沿邊界粘合,得到閉流形,表示梅西積的同調類對偶。實際上,流形同調類不總能用流形表示,因為循環可能有奇點,但這時對偶圖是正常的。
更一般地說,
H
∗
(
Γ
)
{\displaystyle H^{*}(\Gamma )}
的n 個元素的n 元梅西積
⟨
a
1
,
1
,
a
2
,
2
,
…
,
a
n
,
n
⟩
{\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }
定義為如下形式的元素之集
a
¯
1
,
1
a
2
,
n
+
a
¯
1
,
2
a
3
,
n
+
⋯
+
a
¯
1
,
n
−
1
a
n
,
n
{\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}
對方程
d
a
i
,
j
=
a
¯
i
,
i
a
i
+
1
,
j
+
a
¯
i
,
i
+
1
a
i
+
2
,
j
+
⋯
+
a
¯
i
,
j
−
1
a
j
,
j
{\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}
,
的所有解,其中
1
≤
i
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}
、
(
i
,
j
)
≠
(
1
,
n
)
{\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}
,
u
¯
{\displaystyle {\bar {u}}}
表示
(
−
1
)
deg
(
u
)
u
{\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}
。
高階梅西積
⟨
a
1
,
1
,
a
2
,
2
,
…
,
a
n
,
n
⟩
{\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }
可看作是在所有
1
≤
i
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}
的情形下求解後一個方程組的障礙,從這個意義上說,若且唯若這些方程可解時,包含了0上同調類。這樣的n 元梅西積是
n
−
1
{\displaystyle n-1}
階上同調運算,即要使它費用,很多低階梅西運算必須包含0,且其代表的上同調類都通過涉及低階運算的項來區分。2元梅西積是通常的上積,是一階上同調運算;3元梅西積是二階上同調運算 。
J. Peter May (1969 ) 描述了進一步的推廣,稱作矩陣梅西積 ,可描述艾倫伯格–摩爾譜序列 的微分。
三不互扣環 的補有非平凡梅西積。
三不互扣環 的補[ 1] 給出了一個三元梅西積有定義且非零的例子。注意補的上同調可用亞歷山大對偶性 計算,若u 、v 、w 是與3環對偶的1上鏈,則任意兩者之積都是相應環繞數 的倍數,因此為零,而三元梅西積都不為零,表明三不互扣環是相連的。代數反映幾何:這些環兩兩不連接,對應二元梅西積為零;而總體上是連接的,對應三元梅西積不為零。
非平凡布倫尼環 ,對應不為零的梅西積
更一般地,使任意
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
個子鏈不相連,而整體的n 元鏈非平凡地連結的n 元布倫尼環 對應n 元梅西積,
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
元子鏈不連接,對應
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
元梅西積為零,n 元鏈對應n 元梅西積不為零。
Uehara & Massey (1957) 用梅西三元積證明,懷特海積 滿足雅可比恆等式 。
計算扭曲K理論 時,高階梅西積作為阿蒂亞–希策布魯赫譜序列 (AHSS)出現。Atiyah & Segal (2006) 證明,若H 是扭曲3類,AHSS中作用在x 類上的高階微分
d
2
p
+
1
{\displaystyle d_{2p+1}\ }
由p 份H 與1份x 的梅西積給出。
若流形是形式流形(formal manifold)(丹尼斯·蘇利文 定義),則空間上所有梅西積都為零;因此,證明給定流形不形式的一種策略是找到非平凡梅西積。當中「形式流形」從其德拉姆復形 的有限維「最小模型」中推斷得流形有理同倫類。Deligne et al. (1975) 證明,緊凱勒流形 是形式流形。
Salvatore & Longoni (2005) 用梅西積證明,透鏡空間 兩點的構型空間 的同倫類 非平凡地決定了透鏡空間的簡單同倫等價 類。
Atiyah, Michael ; Segal, Graeme , Twisted K-theory and cohomology, Inspired by S. S. Chern, Nankai Tracts in Mathematics 11 , Hackensack, NJ: World Scientific Publishers: 5–43, 2006, ISBN 978-981-270-061-2 , MR 2307274 , S2CID 119726615 , arXiv:math.KT/0510674 , doi:10.1142/9789812772688_0002
Deligne, Pierre ; Griffiths, Phillip ; Morgan, John ; Sullivan, Dennis , Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inventiones Mathematicae , 1975, 29 (3): 245–274, Bibcode:1975InMat..29..245D , MR 0382702 , S2CID 1357812 , doi:10.1007/BF01389853
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