最小上界性

數學中，最小上界性（亦稱上確界性，英語：least-upper bound property, LUB）^[1] 是實數集和其他一些有序集的基礎屬性，與實數的完備性等價^[2] 。 集合X具有最小上界性若且唯若X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上確界)。

任意的有界非空實數集都有一個最小上界。

性質概述

實數

令${\displaystyle S}$為實數集的一個非空子集。

• 如果實數${\displaystyle x}$大於或等於所有${\displaystyle S}$中的元素，則${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle S}$的上界。
• 如果實數${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的上界，並且${\displaystyle x}$小於或等於所有${\displaystyle S}$的上界，則${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle S}$的最小上界。

最小上界性的表述為

所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

一般序集合

對任意偏序集合${\displaystyle X}$，我們都可以定義${\displaystyle X}$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「${\displaystyle X}$的元素」即可。

此處最小上界性的表述為

所有具有上界的${\displaystyle X}$的非空子集都有最小上界${\displaystyle x}$，並滿足${\displaystyle x\in X}$。

有理數集並沒有最小上界性，考慮其子集

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})}$

它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不在有理數集中。

證明

應用

最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理

中間值定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

極值定理

海涅-博雷爾定理

參考文獻

1. Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
2. Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)