拉馬努金和

在數學的分支領域數論中，拉馬努金和（英語：Ramanujan's sum）常標示為${\displaystyle c_{q}(n)}$，為一個帶有兩正整數變量${\displaystyle q}$以及${\displaystyle n}$的函數，其定義如下：

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

提示：此條目的主題不是拉馬努金求和。

其中${\displaystyle (a,q)=1}$表示${\displaystyle a}$只能是與${\displaystyle q}$互質的數。

斯里尼瓦瑟·拉馬努金於1918年的一篇論文中引入這項和的觀念。^[1]拉馬努金和也用在維諾格拉多夫定理（英語：Vinogradov's theorem）的證明，此定理指出：任何足夠大的奇數可為三個質數的和。^[2]

本文符號彙整

若整數a與b，有關係${\displaystyle a\mid b}$（唸作「a整除b」），表示存在一個整數c使得b = ac；相似地，${\displaystyle a\nmid b}$表示「a無法整除b」。

求和符號

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

表示d只採用其正整數因數m，亦即

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)}$。

另外用到的有：

• ${\displaystyle (a,\,b)\;}$為最大公因數，
• ${\displaystyle \phi (n)\;}$為歐拉總計函數，
• ${\displaystyle \mu (n)\;}$為莫比烏斯函數，以及
• ${\displaystyle \zeta (s)\;}$為黎曼ζ函數。

cq(n)的數學式

三角函數

下面的式子源自於定義、歐拉公式${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$以及基本三角函數恆等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

等等（A000012, A033999, A099837, A176742,.., A100051, ...）。這些式子顯示出c_q(n)為實數。

拉馬努金展開式