拉蓋爾多項式

在數學中，以法國數學家埃德蒙·拉蓋爾（英語：Edmond Laguerre）命名的拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程的標準解。

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}$

這是一個二階線性微分方程。

這個方程只有當n非負時，才有非奇異解。拉蓋爾多項式可用在高斯積分法中，計算形如${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)dx}$的積分。

這些多項式（通常用L₀, L₁等表示）構成一個多項式序列（英語：polynomial sequence）。這個多項式序列可以用羅德里格公式遞推得到。

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}$

在按照下式定義的內積構成的內積空間中，拉蓋爾多項式是正交多項式。

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

拉蓋爾多項式構成一個Sheffer序列（英語：Sheffer sequence）。

拉蓋爾多項式在量子力學中有重要應用。氫原子薛定諤方程的解的徑向部分，就是拉蓋爾多項式。

物理學家通常採用另外一種拉蓋爾多項式的定義形式，即在上面的形式的基礎上乘上一個n!。

前幾個拉蓋爾多項式

前幾個拉蓋爾多項式的表達式與函數圖像如下：

n	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}$
6	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$

前六個拉蓋爾多項式

遞歸定義

拉蓋爾多項式也可以通過遞歸的方式進行定義。首先，規定前兩個拉蓋爾多項式為：

${\displaystyle L_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,}$

然後運用下面的遞歸關係得到更高階的多項式。

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).}$

廣義拉蓋爾多項式

上面提到的拉蓋爾多項式的正交性，也可以用另外一種方式表達。即：如果X是一個服從指數分佈的隨機變量（即，概率密度函數如下式）：

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

那麼：

${\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.}$

指數分佈不是唯一的伽瑪分佈，對於任意的伽瑪分佈（概率密度函數如下，α > −1，參見Γ函數）

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

相應的正交多項式為形如下式的廣義拉蓋爾多項式（可以通過羅德里格公式得到）：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}$

有時也將上面的多項式稱為連帶（聯屬，伴隨）拉蓋爾多項式。當取α = 0時，就回到拉蓋爾多項式：

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

廣義拉蓋爾多項式的性質與應用

• 拉蓋爾函數可以由合流超幾何函數和Kummer轉換得到： ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,}$ ${\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)}$${\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)}$${\displaystyle =e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.}$當${\displaystyle n}$為整數時，截斷為${\displaystyle n}$階拉蓋爾多項式。
• ${\displaystyle n}$階拉蓋爾多項式可以通過將萊布尼茨乘積求導公式（英語：Leibniz's theorem for differentiation of a product）應用在羅德里格公式上而得到，結果為${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$。
• n階拉蓋爾多項式的首項系數為(−1)ⁿ/n!；
• 拉蓋爾多項式在x=0的取值（常數項）為 ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};}$
• L_n^(α)有n個實的正根（應該注意到 ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$構成以史特姆序列），且這些根全部位於區間${\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]}$中。
• 當${\displaystyle n}$很大，而${\displaystyle \alpha }$不變，${\displaystyle x>0}$時，拉蓋爾多項式的漸近行為如下：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)}$，以及

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)}$。^[1]

• 前幾個廣義拉蓋爾多項式為：

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}$

${\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}$

${\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}$

• 根據拉蓋爾多項式的定義，可以使用秦九韶算法計算拉蓋爾多項式，程序代碼如下：

 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

遞歸關係

拉蓋爾多項式滿足以下的遞歸關係：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),}$

特別地，有

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$以及${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x)}$，或${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$

還有

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x).\end{aligned}}}$

運用以上式子可以得到以下四條關係式：

• ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)}$${\displaystyle =\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x),}$
• ${\displaystyle nL_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),}$ or ${\displaystyle {\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),}$
• ${\displaystyle nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)}$
• ${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha +1)}=(n+\alpha )L_{n-1}^{\alpha }(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);}$

將它們組合在一起，就得到了最常用的遞歸關係式：

${\displaystyle L_{n+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n+1}}\left((2n+1+\alpha -x)L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\right).}$

當${\displaystyle i}$與${\displaystyle n}$均為整數時，拉蓋爾多項式有以下的有趣性質：

${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x);}$

進一步可以得到部分分式分解：

${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)}{n+\alpha \choose n}}=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.}$

拉蓋爾多項式的導函數

將拉蓋爾多項式對自變量x求導k次，得到：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,;}$

進一步有：

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$

運用柯西多重積分公式（英語：Cauchy formula for repeated integration）可以得到：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$

將拉蓋爾多項式對參變量${\displaystyle \alpha }$求導，得到下面的有意思的結果：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$

廣義拉蓋爾多項式滿足下面的微分方程：

${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,\,}$

可以與拉蓋爾多項式的k階導數所滿足的微分方程作一比較。

${\displaystyle xL_{n}^{(k)\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{(k)\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{(k)}(x)=0,\,}$

僅在此式中，${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)\equiv {\frac {dL_{n}(x)}{dx^{k}}}}$（後面這個符號又有了新的含義）。

於是，當${\displaystyle \alpha =0}$時，廣義拉蓋爾多項式可以用拉蓋爾多項式的導數表示： ${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {dL_{n+k}(x)}{dx^{k}}}}$ 式中的上標(k)容易與求導k次混淆。

正交性

伴隨拉蓋爾多項式在區間[0, ∞)上以權函數x^α e ^−x正交：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$

這可由下式得到：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$

伴隨對稱核多項式可以用拉蓋爾多項式表示為：

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&{:=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\&{=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\&{=}{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$

也有下面的遞歸關係：

${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$

進一步地，在伴L²[0, ∞)空間上，有：

${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\rightarrow \delta (y-\,\cdot ),}$

在氫原子的量子力學處理中用到了下面的公式：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$

級數展開

設一個函數具有以下的級數展開形式：

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$

則展開式的系數由下式給出

${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$

這個級數在Lp空間${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$上收斂，當且僅當

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}dx=\sum _{i=0}{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$

一個相關的展開式為：

${\displaystyle f(x)=e^{{\frac {\gamma }{1+\gamma }}x}\cdot \sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{1+\gamma }}\right)}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}\sum _{n=0}^{i}\gamma ^{i-n}{i \choose n}f_{n}^{(\alpha )};}$

特別地

${\displaystyle e^{-\gamma x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x(1+\gamma ))=\sum _{i=n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}\gamma ^{i-n}{i \choose n},}$

這可由下式得到：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{1+\gamma }}\right)={\frac {1}{(1+\gamma )^{n}}}\sum _{i=0}^{n}\gamma ^{n-i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$

還有，當${\displaystyle \operatorname {Re} {(2\alpha -\beta )}>-1}$時，

${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -\beta }f(x)}{\Gamma (\alpha -\beta +1)}}={\alpha \choose \beta }\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\beta )}(x)}{\beta +i \choose i}}\sum _{n=0}^{i}(-1)^{i-n}{\alpha -\beta \choose i-n}{\alpha +n \choose n}f_{n}^{(\alpha )},}$

這個結果可以由下式導出，

${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -\beta }L_{n}^{(\alpha )}(x)}{\Gamma (\alpha -\beta +1)}}={\alpha \choose \beta }{\alpha +n \choose n}\sum _{i=n}(-1)^{i-n}{\alpha -\beta \choose i-n}{\frac {L_{i}^{(\beta )}(x)}{\beta +i \choose i}}}$

更多的例子

冪函數可以展開為：

${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha -i)}(x){-\alpha \choose n-i},}$

二項式可以展開為：

${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$

進一步可以得到：

${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$（當且僅當 ${\displaystyle \operatorname {Re} {(\gamma )}>-{\frac {1}{2}}}$時收斂）

更一般地

${\displaystyle {\frac {x^{\beta }e^{-\gamma x}}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{\alpha +i \choose i}}\sum _{j=0}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+\gamma )^{\alpha +\beta +j+1}}}{\alpha +\beta +j \choose j}{\alpha +i \choose i-j}.}$

對於非負的整數${\displaystyle \beta }$，可以化簡為：

${\displaystyle {\frac {x^{n}e^{-\gamma x}}{n!}}=\sum _{i=0}{\frac {\gamma ^{i}L_{i}^{(\alpha )}(x)}{(1+\gamma )^{i+n+\alpha +1}}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\gamma ^{j}{n+\alpha \choose j}{i \choose n-j},}$

當${\displaystyle \gamma =0}$時，可以化簡為：

${\displaystyle {\frac {x^{\beta }}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum _{i=0}(-1)^{i}{\beta \choose i}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{\alpha +i \choose i}},}$或

${\displaystyle {\frac {x^{\beta }L_{n}^{(\gamma )}(x)}{\Gamma (\beta +1)}}={\alpha +\beta \choose \alpha }\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{\alpha +i \choose i}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{i-j}{n+\gamma \choose n-j}{\beta +j \choose i}{\alpha +\beta +j \choose j}.}$

雅可比Theta 函數有下面的表示：

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{-k^{2}\pi x}=\sum _{i=0}L_{i}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {(k^{2}\pi t)^{i}}{(1+k^{2}\pi t)^{i+\alpha +1}}};}$

隨意選定參量t，貝索函數可以表示為： ${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{i+\alpha \choose i}}{\frac {t^{i}}{i!}};}$ Γ函數可以展開為：

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=x^{\alpha }\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{\alpha +i}}\qquad \left(\Re (\alpha )<{\frac {1}{2}}\right);}$

低階不完全伽瑪函數可展開為：

${\displaystyle {\frac {\gamma (s;z)}{t^{s}\Gamma (s)}}={\frac {\left({\frac {z}{t}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}\left({\frac {z}{t}}\right)}{\alpha +i \choose i}}\sum _{j=0}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+t)^{s+j}}}{s-1+j \choose j}{\alpha -1+i \choose i-j},}$

${\displaystyle {\frac {\gamma (s;z)}{t^{s}\Gamma (s)}}={\alpha +s \choose \alpha +1}\sum _{i=0}{\frac {{\alpha +i+1 \choose i+1}-L_{i+1}^{(\alpha )}\left({\frac {z}{t}}\right)}{\alpha +i+1 \choose i}}\sum _{j=0}^{i}{\frac {(-1)^{j}}{(1+t)^{\alpha +1+s+j}}}{\alpha +s+j \choose j}{\alpha +i+1 \choose i-j}.}$

還有：

${\displaystyle \gamma (s,z)={\frac {\gamma ^{s}}{\Gamma (1-s)}}\sum _{i=0}{\frac {L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left({\frac {z}{\gamma }}\right)}{(1+\gamma )^{i+1}}}\sum _{n=0}^{i}\gamma ^{i-n}{\frac {i \choose n}{n+1-s}};}$

於是，高階不完全伽瑪函數就是：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma (s,z)}{z^{s}e^{-z}}}&=\sum _{k=0}{\frac {L_{k}^{(\alpha )}(z)}{(k+1){k+1+\alpha -s \choose k+1}}}\qquad \left(\Re \left(s-{\frac {\alpha }{2}}\right)<{\frac {1}{4}}\right)\\&=\sum _{k=0}L_{k}^{(\alpha )}(z\,t)\cdot {\frac {_{2}F_{1}\left(1+\alpha +k,1+k;2+\alpha +k-s;{\frac {t-1}{t}}\right)}{t^{k}(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}}\\&=t^{s}\sum _{k=0}L_{k}^{(\alpha )}(z\,t)\cdot {\frac {_{2}F_{1}\left(1-s,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;{\frac {t-1}{t}}\right)}{(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}}\\&=t^{1+\alpha }\sum _{k=0}L_{k}^{(\alpha )}(z\,t)\cdot {\frac {_{2}F_{1}\left(1+\alpha +k,1+\alpha -s;2+\alpha +k-s;1-t\right)}{(k+1){1+\alpha +k-s \choose 1+k}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle _{2}F_{1}}$表示超幾何函數。

圍道積分表示

拉蓋爾多項式可以用圍道積分表示，如下式所示：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt}$

積分方向逆時針繞原點一周。

與埃爾米特多項式的關係

廣義拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式有下列關係：

${\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n}\ n!\ L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}$

以及

${\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_{n}^{(1/2)}(x^{2})}$

這裏的H_n表示乘上了exp(−x²)的埃爾米特多項式（所謂的「物理學家形式」）。 正因為這樣，廣義拉蓋爾多項式也在量子諧振子的量子力學處理中出現。

與超幾何函數的關係

拉蓋爾多項式可以用超幾何函數來定義，具體地說，是用合流超幾何函數定義：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$

${\displaystyle (a)_{n}}$是階乘冪，這裏表示升階乘。

與貝索函數的關係

拉蓋爾多項式與變形貝索函數之間有以下關係：

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)=&e^{\frac {x}{2}}\left({\frac {x}{4}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}{\frac {2}{{\sqrt {\pi }}(n+1)!{-{\frac {1}{2}} \choose n+1}}}\cdot \\&\cdot \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k}{\frac {{n+\alpha \choose n}{\alpha +2n+1 \choose n-k}}{n-k+\alpha \choose n-k}}\left(k+{\frac {1}{2}}\right)K_{k+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)\\=&e^{\frac {x}{2}}\left({\frac {4}{x}}\right)^{n+\alpha +{\frac {1}{2}}}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right){-\alpha -1 \choose n}{-\alpha -{\frac {1}{2}} \choose n}\cdot \\&\cdot n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {{-2n-1-2\alpha \choose k-n}{-2n-1-\alpha \choose k-n}}{-\alpha -1 \choose k-n}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}+k\right)I_{\alpha +{\frac {1}{2}}+k}\left({\frac {x}{2}}\right)\end{aligned}},}$

進一步有：

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {2}{4^{n}(2n+1){-{\frac {1}{2}} \choose n}}}\sum _{k=0}^{n}\left(k+{\frac {1}{2}}\right){\frac {2n+1 \choose n-k}{{n \choose k}^{2}}}{n+\alpha \choose k}{2n+\alpha +1 \choose n-k}{\frac {x^{n-k}}{(n-k)!}}L_{k}^{-2k-1}(x).}$

外部連結

• 氫原子量子力學處理中的拉蓋爾多項式的快速求導法（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

註釋

1. Abramowitz, p. 506, 13.3.8 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考文獻

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6.
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.