史特姆定理是一個用於決定多項式的不同實根的個數的方法。這個方法是以雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆命名的。
史特姆定理與代數基本定理的一個區別是,代數基本定理是關於多項式的實根或複根的個數,把重根也計算在內,而史特姆定理則只涉及實根,且不把重根計算在內。
我們首先從以下不含重根的多項式構造一個史特姆序列:
標準史特姆序列是把多項式長除法應用於和它的導數時,所得到的中間結果的序列。
標準史特姆序列由以下公式計算:
也就是說,序列中每一項都是前兩項相除所得的餘數,並將其變號。由於當時,,因此這個序列最終要停止。最後一個多項式,,就是和它的導數的最大公因式。由於沒有重根,因此是一個常數。於是,標準史特姆序列為:
設為以下序列中符號變化的次數(零不計算在內):
其中是不含重根的多項式。於是,史特姆定理說明,對於兩個實數,開區間中的不同根的個數為。
上的史特姆序列,是實系數多項式 的一個有限序列,使得:
- 在 上沒有根
- 如果對於,那麼
- 若對於 ,則存在,使得 時, 而 時
我們可以驗證每一個標準史特姆序列確實是如上定義的史特姆序列。
- D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.