干涉 （英語：Interference ）在物理學 中，指的是兩列或兩列以上的波 在空間 中重疊時發生疊加 ，從而形成新波形 的現象[ 1] :425 。
在水波槽裏，兩個點波源共同產生的干涉圖樣。 例如採用分束器 將一束單色 光束 分成兩束後，再讓它們在空間中的某個區域內重疊，將會發現在重疊區域內的光強 並不是均勻分佈的：其明暗程度隨其在空間中位置的不同而變化，最亮的地方超過了原先兩束光的光強之和，而最暗的地方光強有可能為零，這種光強的重新分佈被稱作「干涉條紋」。在歷史上，干涉現象及其相關實驗 是證明光的波動性 的重要依據[ 2] :287 ，但光的這種干涉性質直到十九世紀初才逐漸被人們發現，主要原因是相干光源的不易獲得。
為了獲得可以觀測到可見光干涉的相干光源 ，人們發明製造了各種產生相干光的光學器件以及干涉儀，這些干涉儀在當時都具有非常高的測量精度：阿爾伯特·邁克生 就藉助邁克生干涉儀 完成了著名的邁克生-莫雷實驗 ，得到了以太風 觀測的零結果[ 3] 標準米尺 諾貝爾物理學獎 [ 1] :980 。而在二十世紀六十年代之後，激光 這一高強度相干光源的發明使光學干涉測量技術得到了前所未有的廣泛應用，在各種精密測量中都能見到激光干涉儀的身影。現在人們知道，兩束電磁波 的干涉是彼此振動的電場強度向量疊加的結果，而由於光的波粒二象性 ，光的干涉也是光子 自身的機率幅 疊加的結果[ 1] :1066 。
波的疊加
波 1
波 2
建設性干涉
破壞性干涉
兩列波在同一介質 中傳播發生重疊時，重疊範圍內介質的質點 同時受到兩個波的作用。若波的振幅 不大，此時重疊範圍內介質質點的振動 位移 等於各別波動所造成位移的向量 和，這稱為波的疊加原理 [ 1] :425 。若兩波的波峰 （或波谷 ）同時抵達同一地點，稱兩波在該點同相，干涉波會產生最大的振幅，稱為相長干涉（建設性干涉）；若兩波之一的波峰 與另一波的波谷 同時抵達同一地點，稱兩波在該點反相，干涉波會產生最小的振幅，稱為破壞性干涉（摧毀性干涉）[ 1] :427 。
激光 的產生機理是受激輻射 ，它決定了激光本身即具有非常優秀的相干性。理論上，兩列無限長的單色波的疊加總是能產生干涉，但實際物理模型中產生的波列 不可能是無限長的，並從波產生的微觀機理來看，波的振幅和相位都存在有隨機漲落，從而現實中不存在嚴格意義的單色波。例如太陽 所發出的光波出自於光球 層的電子 與氫原子 的相互作用[ 4] :105 ，每一次作用的時間都在10-9 秒的數量級，則對於兩次發生時間間隔較遠所產生的波列而言，它們無法彼此發生干涉[ 5] :590 。基於這個原因，可以認為太陽是由很多互不相干的點光源組成的擴展光源。從而，太陽光具有非常寬的頻域，其振幅和相位都存在着快速的隨機漲落，通常的物理儀器無法跟蹤探測到變化如此之快的漲落，因此無法通過太陽光觀測到光波的干涉。類似地，對於來自不同光源的兩列光波，如果這兩列波的振幅和相位漲落都是彼此不相關的，稱這兩列波不具有相干性 [ 2] :286 。相反，如果兩列光波來自同一點光源，則這兩列波的漲落一般是彼此相關的，此時這兩列波是完全相干的。
如要從單一的不相干波源產生相干的兩列波，可以採用兩種不同的方法：一種稱為波前分割法 ，即對於幾何尺寸足夠小的波源，讓它產生的波列通過並排放置的狹縫，根據惠更斯－菲涅耳原理 ，這些在波前 上產生的子波是彼此相干的；另一種成為波幅分割法 ，用半透射 、半反射 的半鍍銀鏡，可以將光波一分為二，製造出透射波與反射波。如此產生的反射波和透射波來自於同一波源，並具有很高的相干性，這種方法對於擴展波源同樣適用[ 2] :286 。
兩束光發生干涉後，干涉條紋的光強分佈與兩束光的光程差/相位差有關：當相位差
δ
=
0
,
2
π
,
4
π
,
.
.
.
{\displaystyle \delta =0,2\pi ,4\pi ,...}
δ
=
π
,
3
π
,
5
π
,
.
.
.
{\displaystyle \delta =\pi ,3\pi ,5\pi ,...}
光作為電磁波 ，它的強度
I
{\displaystyle I\,}
玻印亭向量 對時間的平均值[ 2] :287-290 [ 6] [ 7] :169-170 ：
I
=
⟨
S
⟩
=
c
4
π
ϵ
μ
⟨
E
2
⟩
{\displaystyle I=\left\langle \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {c}{4\pi }}{\sqrt {\frac {\epsilon }{\mu }}}\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle \,}
從而光強可以用
⟨
E
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle \,}
電向量
E
{\displaystyle \mathbf {E} \,}
E
(
r
,
t
)
=
1
2
[
A
(
r
)
e
−
i
ω
t
+
A
∗
(
r
)
e
i
ω
t
]
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {A} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}(\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right]\,}
這裏
A
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\,}
A
(
r
)
=
∑
i
=
1
3
a
i
(
r
)
e
i
ϕ
i
(
r
)
e
i
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{3}a_{i}(\mathbf {r} )e^{i\phi _{i}(\mathbf {r} )}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,}
這裏
a
i
(
r
)
{\displaystyle a_{i}(\mathbf {r} )\,}
平面波
a
i
(
r
)
=
a
i
{\displaystyle a_{i}(\mathbf {r} )=a_{i}\,}
ϕ
i
(
r
)
{\displaystyle \phi _{i}(\mathbf {r} )\,}
ϕ
(
r
)
=
k
⋅
r
−
δ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}(\mathbf {r} )=\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\delta _{i}\,}
δ
i
{\displaystyle \delta _{i}\,}
要計算這個平面波的光強，則先計算電場強度的平方：
E
2
=
1
4
[
A
2
e
−
2
i
ω
t
+
A
∗
2
e
2
i
ω
t
+
2
A
⋅
A
∗
]
{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} ^{2}e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*2}e^{2i\omega t}+2\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{*}\right]\,}
對於遠大於一個週期的時間間隔內，上式中前兩項的平均值都是零，因此光強為
I
=
⟨
E
2
⟩
=
1
2
A
⋅
A
∗
=
1
2
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
)
{\displaystyle I=\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{*}={\frac {1}{2}}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)\,}
對於兩列頻率相同的單色平面波
E
1
{\displaystyle \mathbf {E} _{1}\,}
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} _{2}\,}
E
=
E
1
+
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\,}
則在該點的光強為
I
=
⟨
E
2
⟩
=
⟨
E
1
2
⟩
+
⟨
E
2
2
⟩
+
2
⟨
E
1
⋅
E
2
⟩
{\displaystyle I=\left\langle \mathbf {E} ^{2}\right\rangle =\left\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\right\rangle +\left\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\right\rangle +2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle \,}
其中
⟨
E
1
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\right\rangle \,}
⟨
E
2
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\right\rangle \,}
2
⟨
E
1
⋅
E
2
⟩
{\displaystyle 2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle \,}
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,}
E
1
⋅
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,}
E
1
⋅
E
2
=
1
4
[
A
e
−
i
ω
t
+
A
∗
e
i
ω
t
]
[
B
e
−
i
ω
t
+
B
∗
e
i
ω
t
]
=
1
4
(
A
⋅
B
e
−
2
i
ω
t
+
A
∗
⋅
B
∗
e
2
i
ω
t
+
A
⋅
B
∗
+
A
∗
⋅
B
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}&={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}e^{i\omega t}\right]\left[\mathbf {B} e^{-i\omega t}+\mathbf {B} ^{*}e^{i\omega t}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} ^{*}e^{2i\omega t}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{*}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} \right)\end{aligned}}\,}
前兩項對時間取平均值仍然為零，從而干涉項對光強的貢獻為
2
⟨
E
1
⋅
E
2
⟩
=
1
2
(
A
⋅
B
∗
+
A
∗
⋅
B
)
{\displaystyle 2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{*}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} \right)\,}
根據前面複振幅的定義，
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,}
A
=
∑
i
=
1
3
a
i
e
i
ϕ
i
e
i
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}e^{i\phi _{i}}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,}
和
B
=
∑
i
=
1
3
b
i
e
i
ψ
i
e
i
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}b_{i}e^{i\psi _{i}}\mathbf {e} _{i}\qquad i=1,2,3\,}
將分量形式代入上面干涉項的光強，可得
2
⟨
E
1
⋅
E
2
⟩
=
a
1
b
1
cos
(
ϕ
1
−
ψ
1
)
+
a
2
b
2
cos
(
ϕ
2
−
ψ
2
)
+
a
3
b
3
cos
(
ϕ
3
−
ψ
3
)
{\displaystyle 2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle =a_{1}b_{1}\cos(\phi _{1}-\psi _{1})+a_{2}b_{2}\cos(\phi _{2}-\psi _{2})+a_{3}b_{3}\cos(\phi _{3}-\psi _{3})\,}
倘若在各個方向上，兩者的相位差
δ
i
=
ϕ
i
−
ψ
i
{\displaystyle \delta _{i}=\phi _{i}-\psi _{i}\,}
δ
=
ϕ
1
−
ψ
1
=
ϕ
2
−
ψ
2
=
ϕ
3
−
ψ
3
=
2
π
λ
Δ
L
{\displaystyle \delta =\phi _{1}-\psi _{1}=\phi _{2}-\psi _{2}=\phi _{3}-\psi _{3}={\frac {2\pi }{\lambda }}\Delta L\,}
其中
λ
{\displaystyle \lambda \,}
Δ
L
{\displaystyle \Delta L\,}
此時干涉項對光強的貢獻為
2
⟨
E
1
⋅
E
2
⟩
=
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
)
cos
δ
=
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
)
cos
2
π
λ
Δ
L
{\displaystyle 2\left\langle \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\right\rangle =(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})\cos \delta =(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})\cos {\frac {2\pi }{\lambda }}\Delta L\,}
光波是電向量垂直於傳播方向的橫波 ，這裏考慮一種簡單又不失一般性的情形：線偏振光 ，電向量位於x軸上，傳播方向為z軸方向，則兩列波在其他方向上的振幅都為零：
a
2
=
b
2
=
a
3
=
b
3
=
0
{\displaystyle a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=0\,}
代入總光強公式：
I
=
1
2
a
1
2
+
1
2
b
1
2
+
a
1
b
1
cos
δ
=
I
1
+
I
2
+
2
I
1
I
2
cos
δ
{\displaystyle {\begin{aligned}I&={\frac {1}{2}}a_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}b_{1}^{2}+a_{1}b_{1}\cos \delta \\&=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\cos \delta \end{aligned}}}
因此干涉後的光強是相位差的函數，當
δ
=
0
,
2
π
,
4
π
,
.
.
.
{\displaystyle \delta =0,2\pi ,4\pi ,...}
I
m
a
x
=
I
1
+
I
2
+
2
I
1
I
2
{\displaystyle I_{\rm {max}}=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\,}
δ
=
π
,
3
π
,
5
π
,
.
.
.
{\displaystyle \delta =\pi ,3\pi ,5\pi ,...}
I
m
i
n
=
I
1
+
I
2
−
2
I
1
I
2
{\displaystyle I_{\rm {min}}=I_{1}+I_{2}-2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\,}
特別地，當兩列波光強相同即
I
1
=
I
2
=
I
0
{\displaystyle I_{1}=I_{2}=I_{0}\,}
I
=
4
I
0
cos
2
δ
2
{\displaystyle I=4I_{0}\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}\,}
4
I
0
{\displaystyle 4I_{0}\,}
顯然，對於不同的干涉情形，產生的極大值和極小值差異是不同的。由此可以定義條紋的可見度
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}\,}
V
=
I
m
a
x
−
I
m
i
n
I
m
a
x
+
I
m
i
n
{\displaystyle {\mathcal {V}}={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}\,}
雖然以上的討論是基於兩列波都是線偏振光的假設，但對於非偏振光也成立，這是由於自然光可以看作是兩個互相垂直的線偏振光的疊加。
楊氏雙縫實驗的幾何示意圖 英國物理學者托馬斯·楊 於1801年做實驗演示光的干涉演示，稱為楊氏雙縫實驗 。這實驗對於光波動說 給出有力支持，由於實驗觀測到的干涉條紋是艾薩克·牛頓 所代表的光微粒說 無法解釋的現象，雙縫實驗使大多數的物理學家從此逐漸接受了光波動說 。楊氏雙縫的實驗設置如右圖所示，從一個點光源出射的單色波傳播到一面有兩條狹縫的擋板，兩條狹縫到點光源的距離相等，並且兩條狹縫間的距離很小。由於點光源到這兩條狹縫的距離相等，這兩條狹縫就成為了同相位的次級單色點光源，從它們出射的相干光發生干涉，因此可以在遠距離的屏上得到干涉條紋[ 1] :964 [ 2] :290-292 。
如果兩條狹縫之間的距離為
a
{\displaystyle a\,}
d
{\displaystyle d\,}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\,}
L
1
=
d
2
+
y
2
+
(
x
−
a
2
)
2
{\displaystyle L_{1}={\sqrt {d^{2}+y^{2}+(x-{\frac {a}{2}})^{2}}}\,}
L
2
=
d
2
+
y
2
+
(
x
+
a
2
)
2
{\displaystyle L_{2}={\sqrt {d^{2}+y^{2}+(x+{\frac {a}{2}})^{2}}}\,}
當狹縫到觀察屏的垂直距離
d
{\displaystyle d\,}
x
{\displaystyle x\,}
α
′
{\displaystyle \alpha ^{\prime }\,}
Δ
s
{\displaystyle \Delta s\,}
Δ
s
=
a
sin
α
′
≈
a
x
d
{\displaystyle \Delta s=a\sin \alpha ^{\prime }\approx a{\frac {x}{d}}\,}
如果實驗在真空或空氣中進行，則認為介質折射率 等於1，從而有光程差
Δ
L
=
Δ
s
=
a
x
d
{\displaystyle \Delta L=\Delta s=a{\frac {x}{d}}\,}
δ
=
2
π
λ
a
x
d
{\displaystyle \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {ax}{d}}\,}
根據前文結論，當相位差
δ
{\displaystyle \delta \,}
2
m
π
,
|
m
|
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle 2m\pi ,\quad |m|=0,1,2,...\,}
x
=
m
d
λ
a
,
|
m
|
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle x={\frac {md\lambda }{a}},\quad |m|=0,1,2,...\,}
δ
{\displaystyle \delta \,}
2
m
π
,
|
m
|
=
1
2
,
3
2
,
5
2
,
.
.
.
{\displaystyle 2m\pi ,\quad |m|={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},...\,}
x
=
m
d
λ
a
,
|
m
|
=
1
2
,
3
2
,
5
2
,
.
.
.
{\displaystyle x={\frac {md\lambda }{a}},\quad |m|={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}},...\,}
d
λ
a
{\displaystyle {\frac {d\lambda }{a}}\,}
不同狹縫間距情形下的雙縫干涉的明暗相間條紋，左起第一和第三張圖對應的狹縫間距a = 0.250mm，第二和第四張圖對應的狹縫間距a = 0.500mm。照片中所看到的中央亮紋要比兩邊的亮條紋明亮，則是因為狹縫的繞射 效應。 若在雙縫干涉中增加狹縫在兩條狹縫連線上的線寬，以至於狹縫無法看作是一個點光源，此時形成的擴展光源可以看作是多個連續分佈的點光源的集合。這些點光源由於彼此位置不同，在屏上同一點將導致不同的相位差，將有可能導致各個點光源干涉的極大值和極小值點重合，這就導致了條紋可見度的下降。
菲涅耳雙面鏡干涉的幾何示意圖 菲涅耳雙面鏡（Fresnel double mirror ）是一種可以直接產生兩個相干光源的儀器。菲涅耳雙面鏡是兩個長度相同的平面鏡 M1、M2的組合，兩個平面鏡的擺放相對位置成一個很小的傾角α。當光波從點光源S的位置入射到兩個鏡面發生各自的反射後，分別形成了兩個虛像S1和S2。由於它們是同一光源的虛像 ，因此是相干光源，左圖中藍色陰影的部分即為兩束光的干涉區域[ 2] :292-293 [ 6] :12-13 。
從圖中可見菲涅耳雙面鏡干涉的幾何關係與楊氏雙縫相同，因此只要求得兩個虛像間的距離d就可以推知干涉條紋的位置。如果設光源S到兩個平面鏡交點A的距離為b，根據鏡面對稱可知兩個相干光源到鏡面交點的距離也等於b，即
S
1
A
=
S
2
A
=
S
A
=
b
{\displaystyle S_{1}A=S_{2}A=SA=b\,}
而虛光路S1 A、S2 A和平分線（圖中水平的點劃線）的夾角都等於平面鏡傾角α，從而有
d
=
2
b
sin
α
{\displaystyle d=2b\sin \alpha \,}
這個距離等效於楊氏雙縫中兩條狹縫的間距，代入上文中公式即可得到干涉條紋的位置。光波入射到兩個鏡面時各自都會發生
π
{\displaystyle \pi \,}
菲涅耳雙稜鏡干涉的幾何示意圖 菲涅耳雙稜鏡（Fresnel double prism ）是一種類似於菲涅耳雙面鏡的形成相干光源的儀器，它由兩塊相同的薄三稜鏡 底面相合而構成，三稜鏡的折射角很小，並且兩者的折射棱互相平行。當位於對稱軸上的點光源S發出光時，入射光在兩塊稜鏡的作用下部分向上折射 ，部分向下折射，從而形成兩個對稱的虛像，這兩個虛像即為兩個相干光源[ 2] :293-294 。
如果三稜鏡的頂角為α，折射率 為n，則當α很小時光線因折射的偏折角度
β
≈
α
(
n
−
1
)
{\displaystyle \beta \approx \alpha (n-1)\,}
如果點光源S到三稜鏡的距離為a，則根據幾何關係可知兩個相干光源間的距離為
d
=
2
a
tan
β
≈
2
a
β
=
2
a
α
(
n
−
1
)
{\displaystyle d=2a\tan \beta \approx 2a\beta =2a\alpha (n-1)\,}
以下關於條紋間距的計算和楊氏雙縫相同。
洛埃鏡 （Lloyd mirror ），又譯勞埃德鏡 、勞埃鏡 ，是一種更簡單的波前分割干涉儀器，本質為一塊平置的平面鏡M。點光源S位於離平面鏡M較遠且相當接近平面鏡所在平面的地方，因此入射光傾角非常小。點光源S和它在平面鏡所成虛像S'形成了一對相干光源。根據圖中幾何關係，若點光源S到鏡平面的距離為d，則兩個相干光源間的距離為2d。由於兩條相干光路中其中一條經過了鏡面反射，因此只有一束相干光發生了
π
{\displaystyle \pi \,}
[ 2] :293 。
平行平面板的等傾干涉光路圖 如右圖所示，一個單色點光源S所發射的電磁波入射到一塊透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面發生反射和折射，而折射光其後又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介質中。這條折射光必然會與另一條直接被上表面反射的反射光重合於空間中某一點，由於它們都是同一波源發出的電磁波的一部分，因此是相干光，這時會形成非定域的干涉條紋。若光源為擴展光源，一般而言干涉條紋的可見度會下降，但若考慮兩條反射光平行的情形，即重合點在無限遠處，此時會形成定域的等傾干涉條紋[ 2] :313-318 [ 6] :14-16 。根據幾何關係，兩束光的光程差可以表示為
Δ
L
=
n
2
(
A
B
¯
+
B
C
¯
)
−
n
1
A
N
¯
{\displaystyle \Delta L=n_{2}({\overline {AB}}+{\overline {BC}})-n_{1}{\overline {AN}}\,}
其中
n
2
{\displaystyle n_{2}\,}
n
1
{\displaystyle n_{1}\,}
A
B
¯
=
B
C
¯
=
d
cos
θ
′
{\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {BC}}={\frac {d}{\cos \theta ^{\prime }}}\,}
A
N
¯
=
A
C
¯
sin
θ
{\displaystyle {\overline {AN}}={\overline {AC}}\sin \theta \,}
其中
d
{\displaystyle d\,}
θ
{\displaystyle \theta \,}
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }\,}
折射定律 。
這樣得到的光程差為
Δ
L
=
2
n
2
d
cos
θ
′
{\displaystyle \Delta L=2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,}
δ
=
4
π
λ
n
2
d
cos
θ
′
{\displaystyle \delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,}
δ
=
4
π
λ
n
2
d
cos
θ
′
±
π
{\displaystyle \delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\pm \pi \,}
干涉條件為
2
n
2
d
cos
θ
′
±
λ
2
=
m
λ
{\displaystyle 2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,}
由此，每一條條紋都對應一個特定的折射角/入射角，從而被稱作「等傾干涉」。如果觀測方向垂直於平行平面板，則可以觀察到一組同心圓的干涉條紋。
此外，從平行平面板下表面透射的兩束平行光也會形成等傾干涉，但由於不存在反射相變，相位差不需要添加
±
π
{\displaystyle \pm \pi \,}
薄膜的等厚干涉光路圖 若等傾干涉中的平行平面板兩個表面不是嚴格平行的，如右圖所示，則對於單色點光源S的出射光，其上下表面的反射光總會在空間中某一點P上形成干涉，並且其干涉條紋是非定域的[ 2] :318-325 [ 6] :17-23 。此時這兩束光的光程差可以寫為
Δ
L
=
n
1
(
S
B
¯
+
D
P
¯
−
S
A
¯
−
A
P
¯
)
+
n
2
(
B
C
¯
+
C
D
¯
)
{\displaystyle \Delta L=n_{1}({\overline {SB}}+{\overline {DP}}-{\overline {SA}}-{\overline {AP}})+n_{2}({\overline {BC}}+{\overline {CD}})\,}
類似地，
n
1
{\displaystyle n_{1}\,}
n
2
{\displaystyle n_{2}\,}
薄膜 ），光程差可近似得出為
Δ
L
=
2
n
2
d
cos
θ
′
{\displaystyle \Delta L=2n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,}
其中
d
{\displaystyle d\,}
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }\,}
δ
=
4
π
λ
n
2
d
cos
θ
′
{\displaystyle \delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{2}d\cos \theta ^{\prime }\,}
若光源為擴展光源，則會使干涉光在點P的相位差範圍擴大，從而導致條紋可見度下降，但例外情形是點P位於薄膜表面：此時對從擴展光源各點出射的干涉光而言厚度
d
{\displaystyle d\,}
cos
θ
′
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }\,}
2
n
2
d
cos
θ
′
¯
±
λ
2
=
m
λ
{\displaystyle 2n_{2}d{\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,}
當m為整數時有干涉極大，m為半整數時有干涉極小。其中
cos
θ
′
¯
{\displaystyle {\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\,}
cos
θ
′
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }\,}
±
λ
2
{\displaystyle \pm {\frac {\lambda }{2}}\,}
cos
θ
′
¯
{\displaystyle {\overline {\cos \theta ^{\prime }}}\,}
cos
θ
′
¯
=
1
{\displaystyle {\overline {\cos \theta ^{\prime }}}=1\,}
d
=
m
λ
2
m
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle d={\frac {m\lambda }{2}}\quad m=0,1,2,...\,}
λ
2
{\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}\,}
牛頓環的等厚干涉幾何示意圖 等厚干涉的一個例子是劈尖干涉 劈形 的薄膜上，若劈尖的折射率為
n
{\displaystyle n\,}
2
n
d
±
λ
2
=
m
λ
{\displaystyle 2nd\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,}
其中m為整數時是亮條紋，m為半整數時是暗條紋，條紋是一組平行於劈尖棱邊的平行線，並且棱邊上是零級暗紋。相鄰明條紋對應的厚度差因而為
λ
2
n
{\displaystyle {\frac {\lambda }{2n}}\,}
進一步可得出條紋間距
λ
2
n
/
sin
α
≈
λ
2
n
α
{\displaystyle {\frac {\lambda }{2n}}/\sin \alpha \approx {\frac {\lambda }{2n\alpha }}\,}
α
{\displaystyle \alpha \,}
牛頓環實例 等厚干涉的另一個著名例子是牛頓環 。如右圖所示，它是將一個曲率半徑 很大的透鏡 的凸表面置於一個玻璃平面上，並由平行光垂直入射而形成的干涉條紋。此時凸透鏡和玻璃平面間的間隙形成了空氣（折射率近似為1）為介質的劈尖，從而干涉條件為
2
d
±
λ
2
=
m
λ
{\displaystyle 2d\pm {\frac {\lambda }{2}}=m\lambda \,}
設透鏡的曲率半徑為
R
{\displaystyle R\,}
r
{\displaystyle r\,}
d
{\displaystyle d\,}
r
2
=
R
2
−
(
R
−
d
)
2
=
2
R
d
−
d
2
≈
2
R
d
{\displaystyle r^{2}=R^{2}-(R-d)^{2}=2Rd-d^{2}\approx 2Rd\,}
從而可以得到干涉條紋的半徑為
r
=
m
R
λ
{\displaystyle r={\sqrt {mR\lambda }}\,}
邁克生干涉儀的光路圖（補償板未畫出） 邁克生干涉儀是典型的波幅分割干涉儀，它通過將一束入射光分為兩束後，兩束相干光各自被對應的平面鏡反射回來從而發生波幅分割干涉[ 2] :334-336 [ 6] :24-26 。兩束干涉光的光程差可以通過調節干涉臂長度以及改變介質的折射率來實現，從而能夠形成不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀的著名應用是美國物理學家邁克生 和愛德華·莫雷 使用它在1887年進行了著名的邁克生－莫雷實驗 ，得到了以太風 測量的零結果。另外，邁克生還用它首次系統研究了光譜線 的精細結構 ，並且用它在標準米尺 譜線 波長之間做直接比較。
右圖是邁克生干涉儀的基本構造：從光源到光檢測器 之間存在有兩條光路：一束光被分束器 （例如一面半透半反鏡）反射後入射到上方的平面鏡後反射回分束器，之後透射過分束器被光檢測器接收；另一束光透射過分束器後入射到右側的平面鏡，之後反射回分束器後再次被反射到光檢測器上。通過調節平面鏡的前後位置，可以對兩束光的光程差進行調節。值得注意的是，被分束器反射的那一束光前後共三次通過分束器，而透射的那一束光只通過一次。對於單色光而言只需調節平面鏡的位置即可消除這個光程差；但對於複色光而言，在分束器介質內不同波長的色光會發生色散 ，從而需要在透射光的光路中放置一塊材料和厚度與分束器完全相同的玻璃板，稱作補償板，如此可消除這個影響。
當兩面平面鏡嚴格垂直時，單色光源會形成同心圓的等傾干涉條紋，並且條紋定域在無窮遠處。如果調節其中一個平面鏡使兩束光的光程差逐漸減少，則條紋會向中心亮紋收縮，直到兩者光程差為零而干涉條紋消失。若兩個平面鏡不嚴格垂直且光程差很小時，光源會形成定域的等厚干涉條紋，其為等價於劈尖干涉的等距直條紋。
馬曾干涉儀實驗範例：鏡子的表面以深灰色表示，全鍍銀鏡與半鍍銀鏡的後部分別以黑色與淡灰色表示。在兩條路徑中的一條路徑置入了樣品。 邁克生干涉儀 中，分束器被用來使兩束相干光重新會合發生干涉，而倘若採用另外一塊獨立的半透半反鏡來使兩束光重新會合，則可構造成馬赫-曾德爾干涉儀 [ 2] :348-352 [ 6] :26-27 。它是由德國物理學家路德維希·馬赫 路德維·曾德爾 於十九世紀末設計的，其基本光路如左圖所示：光源位於透鏡的焦平面上，從透鏡出射的平行光入射到第一面半透半反鏡上分為兩束，各自經一面平面鏡反射後在完全相同的第二面半透半反鏡重新會合，之後在兩個方向上的光檢測器都能發生干涉。通常，干涉儀中四個反射面需要被儘量設置為嚴格平行，並且四個反射點構成一個平行四邊形 以保證準直。由此，兩列干涉臂的長度差異高度影響着兩個方向上的光檢測器所接收到的干涉信號，任何一個微小的光程差變化都會導致入射光能量的重新分配。當兩列干涉臂的光程完全相等，並考慮光波在半透半反鏡和平面鏡上反射產生的多次半波損失，則可知此時兩列相干光在光檢測器1的光路上有建設性干涉，所有入射光的能量都將進入光檢測器1；而在光檢測器2的光路上有破壞性干涉，沒有入射光能量進入光檢測器2。
在實際操作中，若其中一塊半透半反鏡和平面鏡之間稍有傾斜，則會形成類似邁克生干涉儀的劈尖干涉，即得到定域的平行等距直條紋。
通過測量光程差改變引起的光檢測器所接收到的光強變化，馬赫-曾德爾干涉儀經常用於測量可壓縮氣流中折射率的變化。即對於兩條相干光路，其中一條作為參考光路，另一條置於待測氣流中作為測試光路，從而可測得氣流的折射率改變，進一步即可得到待測氣流的密度改變。
在邁克生干涉儀 或馬赫-曾德爾干涉儀 這樣的波幅分割干涉裝置中，雖然兩束光來自同一光源，但在實驗中會發現如果過度增加兩束光的光程差，會導致干涉條紋的可見度下降直至條紋消失；而在楊氏雙縫干涉 中，如果逐漸擴展兩條狹縫彼此之間的距離，也會導致干涉條紋可見度的下降並最終消失。這種干涉條紋最終消失的現象是由於相干性，前者是由於實際的光波並非嚴格的無限長單色波列 ，它具有有限的縱向相干長度 [ 10] :149-150 ；後者是由於擴展光源造成了橫向相干長度 減小，因此空間中不同點之間彼此的相干性下降[ 10] :150-152 。例如在邁克生干涉儀中，一列有限長度的入射波進入干涉儀後被分成長度相等的兩列波，如果干涉儀兩臂的光程差大於這兩列波的長度，則對於這一入射波而言它產生的兩列分波無法發生干涉，即兩列波沒有相干性。從而在任意時刻，到達空間中某一點的所有波列都來自不同的入射波的疊加，而這些入射波本身具有隨機的相位和振幅漲落，在可觀測時間內它們的疊加不產生干涉[ 10] :148-150 。
隨着時間
t
{\displaystyle t\,\!}
τ
c
{\displaystyle \tau _{c}\,\!}
2
τ
c
{\displaystyle 2\tau _{c}\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
時間相干性是光波單色性的一種反映，如果光波的單色性越好則它具有越好的時間相干性。也就是說，對於一列光波，將它延遲一段時間後再將其與自身延遲後的版本發生干涉，如果延遲的這段時間即使很大，而它仍然能與自身發生干涉，則稱這列波或對應的波源有很好的時間相干性。對於嚴格的無限長單色波，無論延遲多久它仍然能與自身發生干涉；而對於實際的有限長波列 超過一段特定時間之後則無法發生干涉，這段時間被稱作相干時間 ，它也就是這列光波的持續時間。根據定義，自相關函數 可以用來描述時間相干性[ 2] :352-359 [ 6] :47-49 。
設有限長波列
F
(
t
)
=
f
0
e
−
2
i
π
ν
0
t
{\displaystyle F(t)=f_{0}e^{-2i\pi \nu _{0}t}\,}
Δ
τ
{\displaystyle \Delta \tau \,}
|
t
|
>
Δ
τ
2
{\displaystyle |t|>{\frac {\Delta \tau }{2}}\,}
F
(
t
)
=
0
{\displaystyle F(t)=0\,}
傅立葉變換 ，可得它的頻譜 為
f
(
ν
)
=
f
0
∫
−
Δ
τ
2
Δ
τ
2
e
2
i
π
(
ν
−
ν
0
)
t
d
t
=
f
0
Δ
τ
[
sin
π
(
ν
−
ν
0
)
Δ
τ
π
(
ν
−
ν
0
)
Δ
τ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}f(\nu )&=f_{0}\int _{-{\frac {\Delta \tau }{2}}}^{\frac {\Delta \tau }{2}}e^{2i\pi (\nu -\nu _{0})t}\,dt\\&=f_{0}\Delta \tau \left[{\frac {\sin {\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}{\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}\right]\end{aligned}}}
這個積分的結果是一個歸一化的Sinc函數 ，而頻譜的模平方
|
f
(
ν
)
|
2
{\displaystyle |f(\nu )|^{2}\,}
功率譜 ）對應着光強。從函數可知光強的第一個零值對應着
ν
−
ν
0
=
±
1
Δ
τ
{\displaystyle \nu -\nu _{0}=\pm {\frac {1}{\Delta \tau }}\,}
從而得到這列有限長波列的頻率範圍
Δ
ν
∼
1
Δ
τ
{\displaystyle \Delta \nu \sim {\frac {1}{\Delta \tau }}\,}
Δ
τ
Δ
ν
≧
1
4
π
{\displaystyle \Delta \tau \Delta \nu \geqq {\frac {1}{4\pi }}\,}
激光 的線寬也是時間相干性的反映，激光的線寬越窄則說明這束激光的時間相干性越高。
從相干時間可以進一步定義相干長度
Δ
L
=
c
Δ
τ
∼
λ
¯
2
Δ
λ
{\displaystyle \Delta L=c\Delta \tau \sim {\frac {{\bar {\lambda }}^{2}}{\Delta \lambda }}\,}
Δ
λ
{\displaystyle \Delta \lambda \,}
空間相干性是電磁波傳播過程中在空間中兩點的電場相關程度的反映，可以用互相關函數 來描述[ 6] :43-47 。如果一束電磁波在空間中傳播的同一波陣面上不同點的相位彼此間很相關，則認為這束電磁波有很強的空間相干性。例如，在一束激光的橫截面上，向不同方向振盪的電場在相位變化上是高度一致的，即使這束激光的線寬很寬從而不具有很好的時間相干性。空間相干性是激光能夠保持高度方向性的關鍵因素。
根據傅立葉光學 傅立葉變換 ，即是干涉條紋的可見度函數[ 11] :573 。從而對於線度為
b
{\displaystyle b\,}
Sinc函數 ，因而在距離為
R
{\displaystyle R\,}
[ 10] :150-152
L
∼
R
b
λ
{\displaystyle {\mathcal {L}}\sim {\frac {R}{b}}\lambda \,}
這個距離被稱為「縱向相干距離」，由此可定義「相干孔徑角」
Δ
θ
=
d
R
=
λ
b
{\displaystyle \Delta \theta ={\frac {d}{R}}={\frac {\lambda }{b}}\,}
由於楊氏雙縫實驗中條紋的可見度和狹縫在彼此連線上的擴展線度有很大關係，利用這個方法可以測量一些小光源的角幅度，這也正是邁克生測星干涉儀 的原理。
對於入射光照射到平行平面板產生波幅分割等傾干涉的情形，由於從下表面反射的光有可能上表面再次反射，並且會有第三束透射光從上表面出射並與前兩束光發生干涉。以此類推，如果平行平面板對電磁波的損耗可以忽略（介質對電磁波沒有吸收 或散射 ），則理論上會有無窮多束光從上表面出射，並且這些光彼此都是相干光[ 2] :359-366 。
平行平面板的多光束干涉光路示意圖 設平行平面板的折射率為
n
{\displaystyle n\,}
d
{\displaystyle d\,}
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,}
Δ
L
=
2
n
d
cos
θ
2
{\displaystyle \Delta L=2nd\cos \theta _{2}\,}
δ
=
4
π
λ
n
d
cos
θ
2
{\displaystyle \delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}nd\cos \theta _{2}\,}
如果要計算多束反射光或透射光的干涉，還需要計算這些光場的電場強度的向量和（若用複振幅表示則為代數和）[ 2] :360-366 [ 6] :59-63 。對於平行平面板的上表面和下表面，都有特定的反射率 （反射波振幅與入射波振幅之比）和透射率 （透射波振幅與入射波振幅之比），這裏設光波從周圍介質進入板內的反射率和透射率分別為
r
1
{\displaystyle r_{1}\,}
t
1
{\displaystyle t_{1}\,}
r
2
{\displaystyle r_{2}\,}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,}
1 的複振幅為
A
{\displaystyle A\,}
r
1
A
,
t
1
t
2
r
2
A
e
i
δ
,
t
1
t
2
r
2
3
A
e
2
i
δ
,
.
.
.
t
1
t
2
r
2
(
2
p
−
3
)
A
e
i
(
p
−
1
)
δ
,
.
.
.
{\displaystyle r_{1}A,\quad t_{1}t_{2}r_{2}Ae^{i\delta },\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{3}Ae^{2i\delta },...\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{(2p-3)}Ae^{i(p-1)\delta },\quad ...\,}
而忽略第一條透射波在平行平面板中傳播產生的相移（因為它是一個在所有透射波中都會出現的常數），從下表面透射出的各光束的複振幅依次為
t
1
t
2
A
,
t
1
t
2
r
2
2
A
e
i
δ
,
t
1
t
2
r
2
4
A
e
2
i
δ
,
.
.
.
t
1
t
2
r
2
(
2
p
−
2
)
A
e
i
(
p
−
1
)
δ
,
.
.
.
{\displaystyle t_{1}t_{2}A,\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{2}Ae^{i\delta },\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{4}Ae^{2i\delta },...\quad t_{1}t_{2}r_{2}^{(2p-2)}Ae^{i(p-1)\delta },\quad ...\,}
根據邊界條件，光疏媒質到光密媒質有
π
{\displaystyle \pi }
r
1
=
−
r
2
=
r
{\displaystyle r_{1}=-r_{2}=r\,}
等比數列 的無窮級數 ，結果為
A
r
=
r
[
1
−
(
r
2
+
t
1
t
2
)
e
i
δ
]
1
−
r
2
e
i
δ
A
{\displaystyle A_{r}={\frac {r[1-(r^{2}+t_{1}t_{2})e^{i\delta }]}{1-r^{2}e^{i\delta }}}A\,}
如果定義平行平面板的反射比為
R
=
r
2
{\displaystyle R=r^{2}\,}
T
=
t
1
t
2
{\displaystyle T=t_{1}t_{2}\,}
R
+
T
=
1
{\displaystyle R+T=1\,}
由此可以將反射光的振幅表示為
A
r
=
R
(
1
−
e
i
δ
)
1
−
R
e
i
δ
A
{\displaystyle A_{r}={\frac {{\sqrt {R}}(1-e^{i\delta })}{1-Re^{i\delta }}}A\,}
反射光的光強是複振幅的模平方，其表達式為
I
r
=
4
R
sin
2
δ
2
(
1
−
R
)
2
+
4
R
sin
2
δ
2
I
{\displaystyle I_{r}={\frac {4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}{(1-R)^{2}+4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}I\,}
在無損耗情形下透射光的光強可以直接用入射光強
I
{\displaystyle I\,}
A
t
=
t
1
t
2
1
−
r
2
2
e
i
δ
A
=
T
1
−
R
e
i
δ
A
I
t
=
T
(
1
−
R
)
2
+
4
R
sin
2
δ
2
I
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}&={\frac {t_{1}t_{2}}{1-r_{2}^{2}e^{i\delta }}}A\\&={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}A\\I_{t}&={\frac {T}{(1-R)^{2}+4R\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}I\end{aligned}}}
反射光強與透射光強的表達式也被稱作艾里函數 。
根據透射光強的表達式，其干涉條件為
2
n
d
cos
θ
2
=
m
λ
{\displaystyle 2nd\cos \theta _{2}=m\lambda \,}
當m是整數時有透射光強的極大值，m是半整數時有透射光強的極小值。由於光強分佈與傾角
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,}
通常在討論反射光強和透射光強時，會引入一個參量
F
=
4
R
(
1
−
R
)
2
{\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}\,}
I
r
I
=
F
sin
2
δ
2
1
+
F
sin
2
δ
2
{\displaystyle {\frac {I_{r}}{I}}={\frac {F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}{1+F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\,}
I
t
I
=
1
1
+
F
sin
2
δ
2
{\displaystyle {\frac {I_{t}}{I}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\,}
透射率函數與細度的關係，較高細度的透射函數（紅色曲線）和較低細度的透射函數（藍色曲線）比較起來，具有更銳的峰值以及更低的透射極小值。圖中
Δ
λ
{\displaystyle \Delta \lambda \,}
δ
λ
{\displaystyle \delta \lambda \,}
反射率和透射率都是波長的函數，在透射率函數上兩個相鄰的透射峰值之間的波長間隔被稱作自由光譜範圍 [ 11] :425 ：
Δ
λ
≈
λ
0
2
2
n
d
cos
θ
2
{\displaystyle \Delta \lambda \approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nd\cos \theta _{2}}}}
其中
λ
0
{\displaystyle \lambda _{0}\,}
用自由光譜範圍除以透射率函數的半高寬 （峰值高度一半時的透射峰寬度），得到的值稱作細度 [ 11] :423 ：
F
=
Δ
λ
δ
λ
=
π
2
arcsin
(
1
/
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}}}
對於較高的反射比（
R
>
0.5
{\displaystyle R>0.5\,}
F
≈
π
F
2
=
π
R
1
/
2
1
−
R
{\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{1-R}}}
從這個公式可知反射比越高時細度越高，對應其透射峰的形狀越銳利。注意到在平面板上下表面嚴格平行，入射光源為單色平面波的理想情形下，干涉條紋細度和入射傾角以及平面板上下表面距離都無關。
法布立－培若干涉儀的完整設置。 法布立－培若干涉儀清楚顯示出納 D線 的干涉條紋。 法布立－培若干涉儀是一種由兩塊平行的玻璃板組成的多光束干涉儀，本質和上節所述的平行平面板的干涉原理相同。其中兩塊玻璃板的內表面都有相當高的反射率，以確保得到細度足夠高的干涉條紋。由於平行平面板只對特定波長的光有透射極大值，法布立－培若干涉儀能夠對頻率滿足其共振條件的光進行透射或反射，並且能達到非常高的透射率和反射率，它因此也被稱作「法布立－培若諧振腔」或「法布立－培若標準具」[ 2] :366-370 [ 6] :61-62 。
法布立－培若干涉儀被廣泛應用於遠程通信 、激光 、光譜學 等領域，它主要用於精確測量和控制光的頻率和波長。例如，在光學波長計 [ 12] :201-204 。此外，在激光領域法布立－培若干涉儀還被用來抑制譜線的展寬 ，從而獲得單模激光[ 10] :900-901 [ 11] :591-592 ，而在重力波 探測中法布立－培若干涉儀和邁克生干涉儀 組合使用，通過使光子 在諧振腔內反覆振盪增加了邁克生干涉儀的干涉臂的有效長度[ 13] :sec 3.3 。
如要觀察到法布立－培若干涉儀的等傾干涉條紋，要在透射光的傳播方向上垂直放置一透鏡，當透鏡光軸垂直於屏時，等傾干涉的條紋是一組同心圓，圓心對應着正入射透射光的焦點。此時由於是正入射，
θ
2
=
0
{\displaystyle \theta _{2}=0\,}
m
{\displaystyle m\,}
m
0
{\displaystyle m_{0}\,}
[ 2] :366-370 ：
m
0
=
2
n
d
λ
{\displaystyle m_{0}={\frac {2nd}{\lambda }}\,}
一般情況下
m
0
{\displaystyle m_{0}\,}
m
1
{\displaystyle m_{1}\,}
e
{\displaystyle e\,}
m
0
=
m
1
+
e
{\displaystyle m_{0}=m_{1}+e\,}
p
{\displaystyle p\,}
角半徑 為
θ
p
=
n
λ
d
p
−
1
+
e
{\displaystyle \theta _{p}={\sqrt {\frac {n\lambda }{d}}}{\sqrt {p-1+e}}\,}
從而圓條紋的直徑
D
p
{\displaystyle D_{p}\,}
D
p
2
=
(
2
f
θ
p
)
2
=
4
n
λ
f
2
d
(
p
−
1
+
e
)
{\displaystyle D_{p}^{2}=(2f\theta _{p})^{2}={\frac {4n\lambda f^{2}}{d}}(p-1+e)\,}
其中
f
{\displaystyle f\,}
焦距 。
法布立－培若干涉儀的三個重要特徵參量是細度（自由光譜範圍和透射峰的半高寬之比）、峰值透射率（透射光強和入射光強之比的最大值）、襯比因子（透射光強與入射光強之比的最大值和最小值之比），但由於反射比越高時細度才會越高，因此峰值透射率和細度/襯比因子不能同時都很高。
用每次發射單個電子進行的雙縫實驗，用光子得到的結果也類似於此。本圖描述的是隨時間的累積，到達屏幕的電子的分佈情況。 1905年至1917年間，愛因斯坦 通過馬克斯·普朗克 的能量量子化假設 和對光電效應 的解釋，在《關於光的產生和轉化的一個試探性的觀點》、《論我們關於輻射的本性和組成的觀點的發展》、《論輻射的量子理論》等論文中提出電磁波的能量由不連續的能量子組成，這些能量子被稱為光量子 （光子 ）。[ 註 1] [ 14] :xiii [ 15] 波粒二象性 。自羅拔·密立坎 於1916年完成了光電效應的一系列實驗，以及阿瑟·康普頓 於1923年觀察到了X射線被自由電子的散射 ，並於1926年測定了光子的動量 ，物理學界都逐漸接受了電磁波也具有粒子性的這一事實[ 16] :67-68, 161 。
然而，如果從光子的角度來理解干涉現象，就會出現一些令人費解的問題，例如，當兩束相干光中對應的兩個光子彼此發生干涉時，建設性干涉的場合需要從兩個光子中產生出四個光子，破壞性干涉的場合則需要兩個光子彼此抵消，這違反了能量守恆定律 [ 6] :253-254 [ 17] :9 。
對於這一問題的解釋，量子力學 的哥本哈根詮釋 認為光子的干涉是單個光子波函數 的機率幅疊加，波函數是一種機率波 ，其複振幅（機率幅）的模平方正比於對應的狀態發生的機率[ 6] :253-254 。以雙縫干涉 為例，對於每個光子而言，其量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle \,}
[ 18] :94-99 [ 19]
|
ψ
⟩
=
(
|
ψ
1
⟩
+
|
ψ
2
⟩
)
/
2
{\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}\,}
其中，正交歸一 的態向量
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle \,}
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle \,}
光子從這兩條狹縫抵達光檢測器的量子態
|
S
(
θ
)
⟩
{\displaystyle |S(\theta )\rangle \,}
|
S
(
θ
)
⟩
=
(
|
ψ
1
⟩
+
e
i
θ
|
ψ
2
⟩
)
/
2
{\displaystyle |S(\theta )\rangle =(|\psi _{1}\rangle +e^{i\theta }|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}\,}
其中，
θ
{\displaystyle \theta \,}
所以，光檢測器探測到這一光子的機率
p
(
θ
)
{\displaystyle p(\theta )\,}
p
(
θ
)
=
|
⟨
S
(
θ
)
|
ψ
1
⟩
|
2
=
(
1
+
cos
(
θ
)
)
/
2
{\displaystyle p(\theta )=|\langle S(\theta )|\psi _{1}\rangle |^{2}=(1+\cos(\theta ))/2\,}
由於機率有相位差的諧和函數項，光檢測器探測到的光子分佈狀況，從統計上看也就是光檢測器探測到的光強，會顯示出干涉條紋。這結果和經典的電磁波的向量疊加結果非常相似——實際上，如果用電磁場來表示光子的波函數，在形式上能得到和經典干涉相同的結論。然而，這種等效從根本上是錯誤的，因為電磁場是一個可觀測量，而波函數在哥本哈根詮釋中是一個不可觀測量；從光子角度所看到的雙縫實驗是單個光子本身機率波的干涉，而機率也是單個光子出現在特定量子態的機率，而不是位於特定量子態的光子數量。關於這一點，保羅·狄拉克 在《量子力學原理》中做了說明[ 17] :9 [ 註 2]
“
在量子力學發現之前不久，人們就已了解到，光波和光子之間的聯繫必定具有統計性質。然而，他們沒有清楚地了解到，波函數告訴我們的是在某特定位置單獨光子出現的機率，而不是在那位置可能出現的光子數量。這一區別的重要性可以用以下方法看清楚。假設我們令大量光子形成的光束分裂為兩個強度相等的組分。按照光束的強度與其中可能的光子數目相聯繫的假定，我們就會得到，每一組分的光子數量應該是總數量的一半。現在，如果使這兩組分互相干涉，我們就得要求，在一組分中的一個光子能夠與另一組分的一個光子互相干涉。在某些情況下，這兩個光子會要互相抵消，而在另一些情況下，它們會要產生四個光子。但這不符合能量守恆。新理論把波函數與光子出現的機率聯繫起來，就克服了這一困難，因為這個理論認定，每一光子都是部分地走入了這兩個組分的每一個組分。這樣，每一個光子只與它自己發生干涉。從來不會出現兩個不同的光子之間的干涉。
”
這三篇論文的英文標題分別為《On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light》、《On the Development of Our Views Concerning the Nature and Constitution of Radiation》、《On the Quantum Mechanics of Radiation》。
Ca40 激發態的兩種衰變路徑，其分別對應的兩個量子態由於量子疊加，衰變過程中發射的兩個光子被糾纏在一起。在此圖中，淡綠色、淡藍色波形線分別表示551.3nm波長與422.7nm波長的光子，
j
{\displaystyle j}
m
{\displaystyle m}
儘管在理論上可以在雙縫干涉中每次從相干光源只發射一個光子，根據波函數的統計詮釋，經過長時間的積累在屏上將得到經典的干涉條紋；然而在當前的技術下，製備單光子態還十分困難——即使是採用單模激光 玻色子 的一種量子效應，稱為光子群聚 [ 6] :253 。實際操作中相對可行的辦法是產生光子對，從而可以作為產生單光子態的一個近似，此時在一個光子對中第二個光子的頻率和傳播方向都和第一個光子相關，從而可被看作是單光子的福柯態 [ 6] :254 。
常見的產生光子對的方法之一是原子級聯 1 S0 態，它們會通過一個二階輻射過程回到基態 ，並輻射出波長分別為551.3納米和422.7納米的光子對[ 20] :18-19 。
另一種更常見的方法是利用非線性光學 中的自發參量下轉換 ，用晶體中的單個紫外光子作為泵浦光，其通過非線性效應產生一個信號光子和一個閒頻光子，這兩個光子的波長都近似為泵浦光子的波長的2倍，偏振方向都和泵浦光子互相垂直；通過採用雙折射 晶體可以實現泵浦光和下轉換光的相位 匹配，從而使輸出光強得到最大[ 21] 纏結態 ，對信號光子的任何測量都會影響到閒頻光子的量子態，反之亦然[ 22]
Jeffrey Strickland. The Men of Manhattan: Creators of the Nuclear Era. Lulu.com. May 2011. ISBN 978-1-257-76188-3 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century Reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 978-0691095523 Paul Adrien Maurice Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1 January 1981. ISBN 978-0-19-852011-5 Benoît Deveaud; Antonio Quattropani; Paolo Schwendimann. Quantum Coherence in Solid State Systems. IOS Press. 1 January 2009. ISBN 978-1-60750-039-1 
![{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {A} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}(\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right]\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54022cdad18504a44e3f6a447166c5dd677e85cf)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} ^{2}e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*2}e^{2i\omega t}+2\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{*}\right]\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59a0b00585813e3c633dae53bbab8aa47ad1bfe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}&={\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A} e^{-i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}e^{i\omega t}\right]\left[\mathbf {B} e^{-i\omega t}+\mathbf {B} ^{*}e^{i\omega t}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} e^{-2i\omega t}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} ^{*}e^{2i\omega t}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{*}+\mathbf {A} ^{*}\cdot \mathbf {B} \right)\end{aligned}}\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e116861f0ae1bc38ae030f5151b926aa69adce51)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(\nu )&=f_{0}\int _{-{\frac {\Delta \tau }{2}}}^{\frac {\Delta \tau }{2}}e^{2i\pi (\nu -\nu _{0})t}\,dt\\&=f_{0}\Delta \tau \left[{\frac {\sin {\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}{\pi (\nu -\nu _{0})\Delta \tau }}\right]\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0f05ab772ab81bb27fcb6076e26449d7fe22c5)
![{\displaystyle A_{r}={\frac {r[1-(r^{2}+t_{1}t_{2})e^{i\delta }]}{1-r^{2}e^{i\delta }}}A\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50d884fa598c7fd88ee0f1ab9d9b686be8da2ca)
