希爾微分方程

希爾微分方程或是希爾方程是指以下的二階常微分方程

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

其中f(t)為週期函數^[1]

希爾微分方程得名自1886年發現此方程的天文學家喬治·希爾^[2]

一般會假設f(t)的週期為π，則希爾方程可以改寫為f(t)的傅里葉級數：

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}$

希爾方程中特殊的例子有馬丟方程（只對應n = 0, 1的情形）以及Meissner方程（英語：Meissner equation）。

在研究週期微分方程時，希爾微分方程是重要的範例。依照f(t)的不同，其解可能一直是有界的，也有可能其振盪的振幅會指數成長^[3]。Hill微分方程的準確解可以由弗洛凱理論描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希爾微分方程最早是應用在月球穩定性的研究，不過後來也用在許多其他的領域，包括四極桿質量分析器（英語：quadrupole mass spectrometer）的建模，像是晶體中電子的一維薛定諤方程等。

參考資料

1. Magnus, W.; Winkler, S. Hill's equation. Courier. 2013. ISBN 9780486150291.
2. Hill, G.W. On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon. Acta Math. 1886, 8 (1): 1–36. doi:10.1007/BF02417081.
3. Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 2012 [2016-12-10]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始內容存檔於2012-06-26）.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Hill equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韋斯坦因. Hill's Differential Equation. MathWorld.
• Wolf, G., Mathieu Functions and Hill’s Equation, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248