圓錐曲線

圓錐曲線（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲線，是數學、幾何學中透過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的曲線，包括圓，橢圓，拋物線，雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線

圓錐曲線在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奧斯，當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為（橢圓，拋物線，雙曲線的統一定義）：動點到一定點（焦點）的距離與其到一定直線（準線）的距離之比為常數（離心率${\displaystyle e}$）的點的集合是圓錐曲線。對於${\displaystyle 0<e<1}$得到橢圓，對於${\displaystyle e=1}$得到拋物線，對於${\displaystyle e>1}$得到雙曲線。

定義

有同一焦點 ${\displaystyle F}$ 和同一準線 ${\displaystyle l}$ 的：橢圓（${\displaystyle e}$=1/2）、拋物線（${\displaystyle e}$=1）、雙曲線（${\displaystyle e}$=2）。

設${\displaystyle F}$為定點，${\displaystyle l}$為定直線，${\displaystyle e}$為正常數，稱滿足${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}$的動點${\displaystyle P}$的軌跡為圓錐曲線。

其中${\displaystyle F}$為其焦點，${\displaystyle l}$為準線，${\displaystyle e}$為離心率。

由此可知，圓錐曲線的極坐標參數方程為${\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}$或${\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}$（正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起）。 其中${\displaystyle \theta }$為${\displaystyle PF}$與極軸的夾角，${\displaystyle d}$為定直線${\displaystyle x=d}$，即準線到焦點的距離。

將參數方程轉換成直角坐標方程易得，

當${\displaystyle e=1}$時，曲線為拋物線。

當${\displaystyle e\neq 1}$時，

當${\displaystyle 0<e<1}$時，曲線為橢圓。

當${\displaystyle e>1}$時，曲線為雙曲線。

圓錐曲線的類型

圓錐曲線	方程	離心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦點準線距離（p）
圓	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
橢圓	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
拋物線	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle -\,}$	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
雙曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

圓錐曲線的類型：1.拋物線2.圓和橢圓3.雙曲線

橢圓，圓：當平面只與圓錐面一側相交，交截線是閉合曲線的時候，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直，結果為圓。

拋物線：截面僅與圓錐面的一條母線平行，結果為拋物線。

雙曲線：截面與圓錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線。

在平面通過圓錐的頂點的時候，有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。

幾何性質

橢圓（ellipse）

橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長（2a）。

拋物線（Parabola）

拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。

雙曲線（Hyperbola）

雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長（2a）。

離心率

有固定焦點F和準線的圓（e=0) 、橢圓（e=1/2）、拋物線 (e=1)和雙曲線（e=2）。

對於橢圓和雙曲線，可以採用兩種焦點-準線組合，每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是${\displaystyle a/e\ }$，這裏的${\displaystyle a\ }$是橢圓的半長軸，或雙曲線的半貫軸。從中心到焦點的距離是${\displaystyle ae\ }$。

在圓的情況下，${\displaystyle e=0}$且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到L的距離的e倍的所有點組成是沒有意義的。

圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。

對於一個給定的${\displaystyle a\ }$，${\displaystyle e\ }$越接近於1，半短軸就越小。

笛卡爾坐標

在笛卡爾坐標系內，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

此處參數${\displaystyle A\,}$，${\displaystyle B\,}$和${\displaystyle C\,}$不得皆等於${\displaystyle 0\ }$。

矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲^[1]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}$

亦可以寫作

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}$

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (參見齊次坐標)

下文中記${\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}$，記${\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$。

類別

藉由${\displaystyle A_{Q}}$，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

• 若${\displaystyle \det(A_{Q})=0}$，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$退化。
• 若${\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0}$，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則^[2]

• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})>0}$, 方程表示一個橢圓；
  • 對於橢圓，當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0}$時，${\displaystyle Q}$爲一個實橢圓；當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0}$時${\displaystyle Q}$爲一個虛橢圓。（例如，${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}$沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
  • 特別的，若${\displaystyle A=C}$ ，${\displaystyle B=0}$且${\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}$，作爲橢圓的特殊情況，${\displaystyle Q}$表示一個圓。
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$表示一條拋物線；
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，${\displaystyle Q}$表示一條雙曲線；
  • 若${\displaystyle A+C=0}$ ，${\displaystyle Q}$表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

• 若${\displaystyle \det(A_{33})>0}$，作爲橢圓的退化，${\displaystyle Q}$爲一個點。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，作爲拋物線的退化，${\displaystyle Q}$爲兩條平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$爲兩條不重合的平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時${\displaystyle A_{Q}}$的秩爲1）
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$直線不存在與實平面中。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，作爲雙曲線的退化，${\displaystyle Q}$爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$爲多項式系數，而非半長軸${\displaystyle A}$和半短軸${\displaystyle B}$。

不變量

矩陣${\displaystyle A_{Q}}$、${\displaystyle A_{33}}$的行列式，以及${\displaystyle A+C}$（${\displaystyle A_{33}}$的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。^{[2][3][4] [5]:60–62頁} 常數項${\displaystyle F}$以及${\displaystyle D^{2}+E^{2}}$僅在旋轉中保持不變。^{[5]:60–62頁}

離心率

${\displaystyle Q}$的離心率可被寫作關於${\displaystyle Q}$系數的函數。^[6] 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設${\displaystyle Q}$表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

此處若${\displaystyle \det(A_{Q})}$爲負則${\displaystyle \eta =1}$；若${\displaystyle \det(A_{Q})}$爲正則${\displaystyle \eta =-1}$。

此外，離心率${\displaystyle e}$也是下述方程的一個正根^[5]:89頁

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

此處 ${\displaystyle \Delta =\det(A_{33})}$ 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，${\displaystyle Q}$可用變換後的變量${\displaystyle x',y'}$表示爲如下所示的標準形式^[7]

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}$

或等價的

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}$

此處，${\displaystyle \lambda _{1}}$和${\displaystyle \lambda _{2}}$爲${\displaystyle A_{33}}$的特徵值，也即下述方程的兩根：

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

同時，${\displaystyle S=\det(A_{Q})}$，${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})}$。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

方程式	圓	橢圓	拋物線	雙曲線
標準方程式	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\ }$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$
參數方程式	${\displaystyle a\cos \theta ,a\sin \theta \,}$	${\displaystyle a\cos \theta ,b\sin \theta \,}$	${\displaystyle at^{2},2at\,}$	${\displaystyle a\sec \theta ,b\tan \theta \,}$或 ${\displaystyle \pm a\cosh u,b\sinh u\,}$

極坐標

橢圓的半正焦弦

圓錐曲線的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示為${\displaystyle \ell }$，是從單一焦點或兩個焦點中的一個，到圓錐曲線自身的，沿着垂直於主軸（長軸）的直線度量的距離。它有關於半長軸${\displaystyle a}$，和半短軸${\displaystyle b}$，通過公式${\displaystyle a\ell =b^{2}\ }$或${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }$。

在極坐標系中，圓錐曲線有一個焦點在原點，如果有另一個焦點的話它在正x軸上，給出自方程

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$，

或者，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}$，

如上，對於${\displaystyle e=0}$得到一個圓，對於${\displaystyle 0<e<1}$得到橢圓，對於${\displaystyle e=1}$得到拋物線，對於${\displaystyle e>1}$得到雙曲線。

齊次坐標

在齊次坐標下圓錐曲線可以表示為：

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}$

或表示為矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$

矩陣${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$叫做「圓錐曲線矩陣」。

${\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}}$叫做圓錐曲線的行列式。如果${\displaystyle \Delta =0}$則這個圓錐曲線被稱為退化的，這意味着圓錐曲線是兩個直線的聯合（兩相交直線，兩平行直線或兩重合直線）或一點。。

例如，圓錐曲線${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$退化為兩相交直線：${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$。

類似的，圓錐曲線有時退化為兩重合直線（兩直線重合成一條）: ${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$。

${\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}}$被稱為圓錐曲線的判別式。如果${\displaystyle \delta =0}$則圓錐曲線是拋物線，如果${\displaystyle \delta <0}$則是雙曲線，如果${\displaystyle \delta >0}$則是橢圓。如果${\displaystyle \delta >0}$且${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$，圓錐曲線是圓；如果${\displaystyle \delta <0}$且${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$，它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$中，兩個圓錐曲線共有四個點（如果考慮重根），所以永不多於4個交點並總有1個交點（可能性：4個不同的交點，2個單一交點和1個雙重交點，2個雙重交點，1單一交點和1個三重交點，1個四重交點）。如果存在至少一個重根${\displaystyle >1}$的交點，則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點，兩個圓錐曲線被稱為是共振的。

進一步的，每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點，則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次，每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠（與無窮遠線的交點）。如果這些點是實數的，圓錐曲線必定是雙曲線；如果它們是虛共軛，圓錐曲線必定是橢圓，如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠，則它是拋物線。如果在無窮遠的點是${\displaystyle (1,i,0)}$和${\displaystyle (1,-i,0)}$，則圓錐曲線是圓。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠，或它有兩個不共軛的虛數點，它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。

參考文獻

1. Brannan, Esplen & Gray 1999，第30頁 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
2. Protter & Morrey 1970，第326頁 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
3. Wilson & Tracey 1925，第153頁 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
4. Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
7. Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

外部連結

• Conic sections（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Special plane curves（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
• 埃里克·韋斯坦因. Conic Section. MathWorld.
• 埃里克·韋斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld.
• 埃里克·韋斯坦因. Focus. MathWorld.
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.