嘉當子代數

在數學中，嘉當子代數（Cartan subalgebra，縮寫為 CSA），是一個李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的自正規化（如果 ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ 對所有 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$，那麼${\displaystyle Y\in {\mathfrak {h}}}$）、冪零子代數，通常用 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 表示。

存在性和唯一性

當基域是無限域時，有限維李代數的嘉當子代數總是存在的。如果基域是代數閉的且特徵為零，那麼對給定的有限維李代數，所有嘉當子代數通過李代數的自同構都是共軛的，因此也是同構的。

半單李代數的嘉當子代數

對基域是代數閉的且特徵為零的半單李代數，它的嘉當子代數是交換的並有下面的性質：${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的伴隨表示限定到 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 上是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 的一個對角化表示，並且特徵值為零的特徵空間正是 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 。非零的權稱為根，對應的特徵空間稱為根空間；所有的根空間都是一維的。

例子

• 任何冪零李代數是它自己的嘉當子代數。
• n×n 矩陣 李代數的嘉當子代數是所有對角陣形成的子代數。
• 跡為0的二階矩陣李代數${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$有兩個不共軛的嘉當子代數。

參考文獻

• Borel, Armand, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, New York: Dover Publications, 1979, ISBN 978-0-486-63832-4, MR 0559927
• Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-0-387-90053-7
• Hazewinkel, Michiel (編), 嘉当子代数, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4