考慮大氣中納維–斯托克斯的方程式中的垂直坐標方向上的 動量方程式
其中R是地球半徑，Ω是地球旋轉頻率，g 是重力加速度，φ是緯度，ρ是空氣密度以及ν是空氣的 運動粘性係數（我們可以忽視湍流在大氣中的影響）。
在綜觀尺度中，我們可以預期U = 101 m.s-1的水平速度和W = 10-2 m.s-1的垂直速度。 水平刻度L = 106米，垂直刻度H = 104米。 典型的時標是T = L / U = 105秒。 對流層的壓差為ΔP= 104Pa，空氣密度ρ= 100 kg·m-3。 其他物理屬性約為：
- R = 6.378 × 106 m;
- Ω = 7.292 × 10−5 rad·s−1;
- ν = 1.46 × 10−5 m2·s−1;
- g = 9.81 m·s−2.
等式（1）中不同項的估計可以使用它們的尺度來進行：
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2526ed4450139293d5383ea44f22141ca4b3e3a7)
現在我們可以將這些尺度及其值引入等式（1）：
我們可以看到所有項次（除了右側的第一個和第二個）都可以忽略不計。因此，我們可以將垂直動量方程式簡化為流體靜力平衡方程式：
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\partial w} \over {\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2526ed4450139293d5383ea44f22141ca4b3e3a7)
